Физический смысл определенного интеграла

Пусть материальная точка перемещается под действием силы , направленной вдоль оси и имеющей переменную величину , где – абсцисса движущейся точки .

Разобьем отрезок произвольным образом на частичных отрезков длиной Так как длина частичного отрезка мала, то силу можно считать на данном отрезке постоянной и равной значению функции в произвольной точке отрезка, . Работа, совершенная этой силой на отрезке , равна . Тогда работа силы на всем отрезке будет приближенно равна

Данная сумма представляет собой интегральную сумму функции на отрезке , а предел этой суммы при будет равен работе :

Физический смысл определенного интеграла состоит в том, что определенный интеграл численно равен работе силы по перемещению точки вдоль отрезка .

Формула Ньютона-Лейбница Пусть функция интегрируема на , непрерывна на отрезке и – какая-либо ее первообразная на , то .

Пример. Вычислить интеграл .Решение.