2015-01-30
661
К данному методу интегрирования относятся интегралы вида:
1. 
; 2. 
; 3. 
; 4. 
.
1. Рассмотрим интеграл 
. Преобразуем квадратный трехчлен, выделив полный квадрат:
где 
.
Таким образом, интеграл 
принимает вид: 
.Сделаем подстановку 
, 
. Тогда получим 
. Это уже табличные интегралы (в таблице 19 и 20).
Пример. Найти интеграл 
. Решение.
, 
, 
.
Понятие определенного интеграла
Пусть на отрезке 
задана непрерывная функция 
.Разобьем отрезок произвольным образом на 
частей точками 
, 
, 
, …, 
, причем 
Длину частичного отрезка разбиения 
обозначим через 
, то есть 
. В каждом частичном отрезке произвольным образом выберем точку 
и найдем значение функции в каждой точке: 
, 
, …, 
, …, 
. Составим сумму
Данная сумма называется интегральной суммой для функции 
на отрезке . Пусть 
– длина наибольшего частичного отрезка: 
. Найдем предел интегральной суммы при 
: 
.
Определение 7. Если интегральная сумма 
имеет предел 
, который не зависит ни от способа разбиения отрезка на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то этот предел называют определенным интегралом от функции на отрезке и обозначают 
. Таким образом, 
,
|
|
|
где 
– нижний предел интегрирования, 
– верхний предел интегрирования, – подынтегральная функция,
– подынтегральное выражение, 
– переменная интегрирования, – отрезок интегрирования.
Теорема Коши. Если функция непрерывна на отрезке , то определенный интеграл 
существует.
