Методы отыскания вектора валовых выпусков

Для решения первой задачи существует два метода: точный и приближенный.

а) Точный метод отыскания вектора валовых выпусков Х.

Запишем модель Леонтьева в матричном виде

АХ + Y = Х, откуда: Х – АХ =Y или (Е – А) × Х = Y, (5.9)

где Е – единичная матрица той же размеренности, что и матрица А; (Е – А) – матрица Леонтьева.

Отсюда решение задачи находится из следующего выражения:

Х = (Е – А)^-1 × Y = В × Y, (5.10)

где В = (Е – А)^-1 – обратная к матрице Леонтьева матрица.

Неотрицательное решение задачи существует, если

0 £ а_ij < 1:

< 1, j = .

б) Приближенный метод отыскания вектора валовых выпусков.

Разложим матрицу (Е – А)^-1 в ряд Тейлора, получим

(Е – А)^-1 = Е + А + А² + … + А^k + …

Подставим найденное выражение в зависимость (5.10).

Пример. Три отрасли выпускают продукцию, причем нормы затрат ресурсов заданы матрицей А, вектор конечной продукции – Y:

А = , Y =

Определить вектор валовых выпусков и величины межотраслевых поставок.

Решение найдём с помощью функций Excel из категории Математические. Так, обратную матрицу В = (Е – А)^-1 найдём с помощью функции =МОБР, вектор Х=В*Y – с помощью функции =МУМНОЖ. Транспонировать вектор Х поможет функция =ТРАНСП (рис. 63). Названные функции вводятся в виде формул массива. Например, для нахождения обратной матрицы следует выделить область B13:D15, ввести функцию =МОБР(B9:D11), нажать клавишу F2 и завершить расчёт нажатием комбинации клавишей Ctrl+Shift+Enter.

Рис. 63. Расчёт вектора валового выпуска

Величины межотраслевых поставок определяются из выражения

X_ij = a_ij · X_j,

где X_j - элементы транспонированного вектора валового выпуска.

Решение задачи поиска вектора валового выпуска в модели межотраслевого баланса возможно с помощью симплекс-метода.

Представим модель межотраслевого баланса в виде задачи линейного программирования.

Функция цели – максимальный объём валового выпуска

система ограничений

условие неотрицательности получаемого решения

x_j ³ 0 .

Система уравнений межотраслевого баланса имеет вид

Преобразуем систему уравнений к следующему виду, оставив значения конечного продукта в правой части ограничений, а искомые значения валового выпуска – в левой части

При решении задачи с помощью надстройки Поиск решения введём исходные данные и математические выражения так, как это показано на рис. 64.

Для получения решения задачи необходимо вызвать в меню Сервис надстройку Поиск решения и заполнить её так, как это показано на рис. 65.

Рис. 64. Ввод исходных данных в модель оптимизации

Рис. 65. Заполнение диалогового окна Поиска решения

На рис. 66 показаны результаты решения задачи межотраслевого баланса. Вектор валового выпуска Х= (46,93 53,27 27,38). В целевой ячейке величина суммы валовых выпусков отраслей - 127,579 ден.ед.

Рис. 66. Результата решения задачи межотраслевого баланса