Примеры решения задач. По десяти шахтам известны следующие данные, характеризующие процесс добычи угля

По десяти шахтам известны следующие данные, характеризующие процесс добычи угля.

Таблица 1

Номер шахты, i
Мощность пласта, (м)
Сменная добыча угля на одного рабочего, (т)

1. Постройте поле корреляции и по виду облака рассеяния сделайте предположение о форме связи между переменными и .

Рассчитайте характеристики случайных величин:

2. средние значения , ;

3. выборочные дисперсии (вариации) var (x), var (y);

4. стандартные (среднеквадратические) отклонения S (x), S (y);

5. выборочную ковариацию (выборочный корреляционный момент) cov (x, y);

6. выборочный коэффициент корреляции r_xy.

7. С помощью этих характеристик оцените степень рассеяния случайных величин вокруг средних значений и тесноту связи переменных.

Решение.

Для удобства вычислений составим таблицу

Таблица 2

i	xi	уi					хi· уi
			-1,4	1,96	-1,8	3,24
			1,6	2,56	3,2	10,24
			2,6	6,76	3,2	10,24
			-0,4	0,16	0,2	0,04
			-1,4	1,96	-1,8	3,24
			-1,4	1,96	-0,8	0,64
			-0,4	0,16	-0,8	0,64
			-0,4	0,16	-1,8	3,24
			-1,4	1,96	-0,8	0,64
			2,6	6,76	1,2	1,44
Итого				24,4		33,6
Среднее значение	9,4	6,8		2,44		3,36	66,4

1. Построим поле корреляции (диаграмму рассеяния) по данным 2 и 3 столбцов таблицы

Рисунок 1. Поле корреляции

По виду облака рассеяния предположим линейную форму связи между переменными и .

2. По формулам (1.3) рассчитаем средние значения , .

, (см. столбец 2 таблицы);

, (см. столбец 3 таблицы).

3. Для вычисления выборочных дисперсий (вариаций) var (x), var (y) используем формулы (1.5).

(см. столбцы 4 и 5 таблицы);

(см. столбцы 6 и 7 таблицы).

4. Стандартные (среднеквадратические) отклонения S (x), S (y) найдем по формулам (1.6)

,

.

5. Выборочная ковариация (выборочный корреляционный момент) cov (x, y) находится по формуле (1.8). Среднее произведений вычисляется в 8 столбце таблицы, из него вычитается произведение средних.

.

6. Вычислим выборочный коэффициент корреляции r_xy по формуле (1.7):

.

7. Степень рассеяния величин и вокруг средних значений (м), (т) хорошо характеризуют стандартные отклонения (м) и (т). Рассеяние находится в пределах 17%, а рассеяние – 27%. По выборочной ковариации можно судить о зависимости двух случайных величин, их небольшом рассеянии относительно среднего значения. Коэффициент корреляции , величина которого близка к единице, говорит о наличии сильной линейной зависимости между переменными и .