2015-01-30
1500
Задача Коши для уравнения теплопроводности имеет вид
(139)
(140)
где 
– неизвестная функция, 
– заданы.
Разложим функцию при любом фиксированном 
в ряд Тейлора по времени относительно точки t =0 (ряд Маклорена)
(141)
Если найти коэффициенты 
, то по формуле (141) получим решение. Заметим, что 
определяется из начального условия (140).
Разложим в ряд Маклорена функцию 
в правой части уравнения (139)
(142)
Поскольку функция 
задана, то все 
могут быть найдены.
Выражения для частной производной 
и оператора Лапласа 
в уравнении (139), следуют из (141)
(143)
Подставим (142) и (143) в уравнение (139). В результате получим равенство
Это равенство равносильно соотношениям
(144)
которые определяют коэффициенты 
и так далее через 
, заданную в начальном условии (140).
Таким образом, решение задачи Коши (139)–(140) выражается формулой:
(145)
где задана в (140), а остальные находятся по (144)
(146)
Пример 16. Найти решение уравнения
▲ Здесь 
Так как 
и 
, то по (146) 
Отсюда находим
То есть, все остальные 
Подставляем полученные 
в решение (145)
или
▲
Пример 17. Найти решение уравнения
▲ Здесь 
Так как 
и 
, то по (146)
Найдем 
по этой формуле
И так далее, все остальные
Подставляем полученные в решение (145)
или
▲
