2015-01-30
5194
В первую очередь рассмотрим задачу Коши дляоднородного уравнения теплопроводности.
, (125)
удовлетворяющее неоднородному начальному условию
. (126)
Начнем с того, что заменим переменные x и t на 
и введем в рассмотрение функцию 
. Тогда функции 
будут удовлетворять уравнениям
где 
- функция Грина, определяемая формулой
, (127)
и обладающая свойствами
(128)
(129)
; (130)
. (131)
Умножив первое уравнение на G*, а второе на и и затем сложив полученные результаты, получим равенство
. (132)
После интегрирования по частям равенства (132) по 
в пределах от -∞ до +∞ и по 
в пределах от 0 до t, получим
. (133)
Если предполагать, что функция 
и ее производная 
ограничены при 
, то в силу свойств (131) интеграл в правой части (133) равен нулю. Следовательно, можно записать
. (134)
Заменив в этом равенстве 
на 
, а 
на 
, получим соотношение
или
.
Отсюда, используя формулу (127) окончательно получим
. (135)
Формула (135) называется формулой Пуассона и определяет решение задачи Коши (125), (126) для однородного уравнения теплопроводности с неоднородным начальным условием.
Решение же задачи Коши для неоднородного уравнения теплопроводности
, (136)
удовлетворяющее неоднородному начальному условию
, (137)
представляет собой сумму решений:
,
где 
является решением задачи Коши для однородного уравнения теплопроводности. , удовлетворяющее неоднородному начальному условию , а 
является решением 
, удовлетворяющее однородному начальному условию 
. Таким образом, решение задачи Коши (136), (137) определяется формулой
.(138)
Пример 15. Найти решение уравнения
(15.1)
для следующего распределения температуры стержня:
(15.2)
▲ Стержень является бесконечным, поэтому решение можно записать, используя формулу (135)
.
Так как в интервале 
равна постоянной температуре 
, а вне этого интервала температура равна нулю, то решение принимает вид
. (15.3)
Полагая в (15.3) 
, получим
.
Поскольку
представляет собой интеграл вероятностей, то окончательное решение исходной задачи (13.1), (13.2) можно выразить формулой
.▲
