Решения краевой задачи для уравнения Лапласа внутри круга и вне его

Уравнением Лапласа описываются различные физические процессы и в каждой задаче искомое решение должно удовлетворять уравнению в некоторой области D, а также некоторому дополнительному условию на границе S этой области D.

В зависимости от вида граничного условия различают следующие основные виды граничных задач:

- первая краевая задача или задача Дирихле;

- вторая краевая задача или задача Неймана;

- третья краевая задача,

где - определенные на поверхности S функции; Р – точка поверхности S; - внешняя нормаль к S; .

Краевые задачи могут быть внутренними или внешними. Они различаются в зависимости от того, в какой области внутренней или внешней относительно поверхности S ищется решение.

Внутренняя задача Дирихле формулируется следующим образом: Найти непрерывную в замкнутой области функцию и (М), которая удовлетворяла бы в области D уравнению Лапласа и принимала бы на поверхности S заданные значения F(P). Математически это можно записать следующим образом:

Внутренняя задача Неймана формулируется так: найти внутри области D решение и (М) уравнения Лапласа

непрерывное в замкнутой области и удовлетворяющее на поверхности S условию

Рассмотрим теперь краевые задачи для уравнения Лапласа внутри круга и вне его. Пусть существует область, представляющая собой круг радиуса R. Запишем двухмерное уравнение Лапласа в полярных координатах, полагая, что , а

или . (158)

Для нахождения частных решений уравнения (158) используем метод Фурье и представим эти решения в виде

(159)

После подстановки решения (159) в исходное уравнение (158) для каждой функции и получим два уравнения

, (160)

. (161)

Рассмотрим сначала уравнение (160) для функции . Если , то решение этого уравнения имеет вид

. (162)

Уравнение (161) в случае, когда представляет собой уравнение Эйлера, которое можно привести к уравнению с постоянными коэффициентами путем замены , тогда

Следовательно, уравнение (161) принимает вид

Решение этого однородного линейного уравнения второго порядка имеет вид

и возвращаясь к переменной r, получим

. (163)

Если в уравнении (161) , то это уравнение принимает вид

(164)

Это уравнение также является уравнением Эйлера, поэтому, производя замену , приходим к уравнению

решение которого будет иметь вид

и возвращаясь к переменной r, получим

. (165)

решение уравнения (161) при .

Таким образом, можно построить частные решения уравнения Лапласа в круге и вне его:

I. Исходя из выражений (159), (162), 163) и (165) можно утверждать, что частные решения уравнения Лапласа в круге можно записать в виде:

Эти решения ограничены при и неограниченны на бесконечности.

Функция как функция от является периодической функцией с периодом , т.к. для однозначной функции величины и совпадают. Поэтому из равенства (158) следует, что коэффициент В в решении (162) равен нулю и может принимать одно из значений 1,2,3,… (). В решении (163) и (165) коэффициент D должен быть равным нулю, поскольку в противном случае функция имела бы разрыв в точке r = 0 и не была бы гармонической в круге. Следовательно, мы получили бесчисленное множество частных решений уравнения (158), непрерывных в круге, которые (несколько изменив обозначения) можно записать в виде

(166)

Используя принцип суперпозиции, а также вследствие линейности и однородности уравнения Лапласа можно утверждать, что сумма частных решений (166)

(167)

будет являться решением уравнения (158).

Если поставлены краевые условия

, (168)

то решение краевой задачи можно записать в виде разложения (167), коэффициенты которого определяются из граничного условия (168). Решение можно получить немного иначе. Запишем решение задачи (158), (168) в виде

(169)

. Подставляя (169) в граничное условие (168), получаем

(170)

Следовательно, являются коэффициентами Фурье функции по системе тригонометрических функций , которые можно вычислить по следующим формулам:

(171)

Выпишем отдельно решение первой, второй и третьей краевых задач для уравнения Лапласа в круге.

1. Задача Дирихле: ,

. (172)

Подставляя коэффициенты в (172) и меняя порядок суммирования и интегрирования, получим

Так как при имеет место разложение

то решение можно записать в виде

. (173)

Эта формула Пуассона, которая при непрерывной функции дает классическое решение задачи Дирихле в круге.

2. Задача Неймана: ,

. (174)

где С – произвольная постоянная.

Необходимо отметить, что решение задачи Неймана существует только при условии

и определяется с точностью до произвольной постоянной.

3. Третья краевая задача:

(175)

Коэффициенты в решениях (172), (174), (175) определяются по формулам (171).

II. Рассмотрим теперь внешнюю краевую задачу для уравнения Лапласа

функция и регулярна на бесконечности, т.е. она имеет конечный предел при .

Решение этой задачи можно записать в виде

(176)

. Коэффициенты определяются из граничного условия и вычисляются по формулам

(177)

Выпишем отдельно решение первой, второй и третьей краевых задач для уравнения Лапласа вне круга.

1. Задача Дирихле: ,

. (178)

2. Задача Неймана: ,

. (179)

где С – произвольная постоянная.

Еще раз необходимо отметить, что решение задачи Неймана существует только при условии

и определяется с точностью до произвольной постоянной.

3. Третья краевая задача:

. (180)

Коэффициенты в решениях (178)-(180) являются коэффициентами Фурье функции , и определяются по формулам (177).

Пример 18. Найти решение уравнения Лапласа для внутренней части круга радиуса R, удовлетворяющее краевому условию

. (18.1)

▲ Здесь задана задача Дирихле, где правая часть граничного условия (18.1) . Решение ищется в круге , значит выписывать решение будем по (172). Найдем в этой формуле коэффициенты . Для этого подставим само решение (172) в левую часть граничного условия (18.1) при , а правую часть, т.е. функцию разложим в ряд Фурье по синусам и косинусам

. (18.2)

Теперь сравним коэффициенты при синусах и косинусах с одинаковыми аргументами и при свободном члене в левой и правой частях полученного равенства (18.2)

(при ), т.к. справа нет слагаемых с ,

а также все остальные (кроме ). Подставим ненулевые в решение (172) и получим ответ, т.е. найдем функцию

▲

Пример 19. Найти решение уравнения Лапласа во внешности круга радиуса R , удовлетворяющее на границе условию Неймана

(19.1)

▲ Здесь дана задача Неймана, где правая часть граничного условия (19.1) (уже разложена в ряд Фурье). Так как уравнение Лапласа надо решить вне круга , то будем использовать формулу (178). Найдем в этой формуле коэффициенты . Для этого подставим само решение (178) в левую часть граничного условия (19.1) при :