Разделенные разности нулевого порядка совпадают со значениями самой функции

Разделенные разности первого порядка

Разделенные разности второго порядка и т.д.

Разделенные разности - го порядка:

(14)

Пусть многочлен степени . Разность обращается в нуль при , следовательно, она делится на . Тогда разделенная разность первого порядка - многочлен степени относительно (и относительно , так как выражение симметрично относительно и ).

Разность обращается в нуль при , поэтому, разделенная разность второго порядка

- многочлен степени .

Аналогично, - многочлен степени и т.д.

Разделенная разность порядка n: - многочлен нулевой степени.

Разделенные разности более высокого порядка обращаются в нуль.

Значение от не зависит, тогда

Из определения разделенных разностей следует:

и т.д.

Отсюда получаем формулу для :

(15)

Разделенные разности в соответствии с рекуррентной формулой (14) выражаются через значения многочлена в узлах . Если - узлы интерполяции, - значения интерполируемой функции в этих узлах, то они однозначно определяют интерполяционный многочлен степени , значения которого в узлах совпадают с . Тогда разделенные разности многочлена совпадают с разделенными разностями функции . Поэтому интерполяционный многочлен можно записать в форме:

(16)

Эта форма называется интерполяционным многочленом Ньютона с разделенными разностями.

Формула (17) более удобна для вычисления, чем запись интерполяционного многочлена в форме Лагранжа, т.к. добавление новых узлов интерполяции влечет вычисление только новых слагаемых, добавляемых к тому, что было вычислено с меньшим числом узлов. При использовании формы Лагранжа в этой ситуации требуется выполнять все вычисления заново.

[О комплексе|Теория|Практикум|Справочник по MathCAD'у|Об авторах]

[Home|Кафедра|ПетрГУ] 3.4. Численное дифференцирование.

Каждая из рассмотренных ранее интерполяционных формул может быть использована для приближенного нахождения значений производных функции .