Частично-рекурсивные функции

Большинство арифметических и логических функций являются примитивно-рекурсивными. Однако класс примитивно-рекурсивных функций не охватывает всех вычислимых в интуитивном смысле функций. Для построения остальных функций используется так называемый оператор минимизации (m -оператор, оператор наименьшего корня).

Оператор минимизации определяет новую арифметическую функцию от n переменных с помощью ранее построенной арифметической функции от n+1 переменных. Пусть существует некоторый механизм вычисления функции , причем значение функции неопределенно, если этот механизм работает бесконечно, не выдавая никакого определенного значения.

Зафиксируем набор значений аргументов и рассмотрим уравнение относительно y: ; чтобы найти решение этого уравнения, натуральное , будем вычислять последовательность значений:

для ..

Наименьшее целое неотрицательное значение , удовлетворяющее этому уравнению: обозначим:

Говорят, что функция получена из функции операцией минимизации, если:

Оператор минимизации работает бесконечно в одном из следующих случаев:

1) значение не определено;

2) значение для определены, но не равны нулю, а значение – не определено;

3) значение определены для всех , но не равны нулю.

Пример 13. Процесс вычисления функции с помощью оператора минимизации:

Пример 14. Оператор минимизации является удобным средством получения обратных функций: вычитание, деление, извлечение корня и т.д.:

Частично-рекурсивная функция – функция, которая может быть построена из простейших с помощью конечного числа применений оператора суперпозиции, примитивной рекурсии и минимизации.

Частично-рекурсивная функция является не всюду определенной, причем там, где она не определена, процесс ее вычисления продолжается бесконечно.

Общерекурсивная функция –всюду определенная частично-рекурсивная функция.

Связь между алгоритмами и рекурсивными функциями выражается тезисом Черча: какова бы ни была вычислимая неотрицательная целочисленная функция от неотрицательных целочисленных аргументов, существует тождественно равная ей частично-рекурсивная функция.

Класс частично-рекурсивных функций (ЧРФ) шире чем класс общерекурсивных функций (ОРФ), который в свою очередь шире классса примитивно-рекурсивных функций (ПРФ) (см. рис. 1).