2015-01-07
1415
Контрольная работа содержит три задания:
1. Определение переходной функции колебательного звена аналитическим методом.
2. Определение переходной функции колебательного звена численным методом.
3. Определение переходной функции апериодического звена второго порядка.
1. Звеном называется математическая модель отдельного блока системы автоматического управления, соединения блоков или любой части системы. Звено второго порядка описывается дифференциальным уравнением
,
и для 0 < x < 1 является колебательным звеном.
Параметры Т, x для выполнения контрольной работы приведены в таблице 1 в соответствии с номером работы.
Для определения переходной функции колебательного звена аналитическим методом достаточно по заданным значениям постоянной времени Т и коэффициента демпфирования x определить:
и 
и построить график переходной функции (переходную характеристику)
на отрезке [0, 10 T ].
2. Для построения переходной функции численным методом дифференциальное уравнение колебательного звена при единичном воздействии и для t ³ 0:
необходимо привести к нормальной форме:
(1).
Эту систему уравнений решаем численным методом.
Наиболее распространёнными численными методами решения обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем являются методы Эйлера и Рунге-Кутта.
Применение этих методов рассмотрим на примере дифференциального уравнения первого порядка
удовлетворяющее начальному условию х(t 0 ) = x0.
Выберем фиксированное приращение D t= h независимой переменной t и обозначим:
Тогда приближенное решение (численное решение) рассматриваемого дифференциального уравнения дается следующими формулами.
Метод Эйлера:
;
Метод Рунге-Кутта:
,
где:
Приращение D x=h называется шагом интегрирования.
В задачу контрольной работы входит численное интегрирование системы дифференциальных уравнений (1), описывающих колебательное звено, при начальных условиях х (0) = 0; 
на отрезке [0,10 Т ].
Применительно к системе дифференциальных уравнений (1) метод Эйлера выглядит следующим образом:
Необходимо оценить влияние величины шага интегрирования на точность решения. Для этого в качестве эталона необходимо использовать аналитическое решение и, варьируя шагом интегрирования, провести сравнение между численным и аналитическим решением, добиваясь их совпадения при максимальном шаге интегрирования. В качестве метода интегрирования можно воспользоваться одним из предложенных методов (Эйлера или Рунге-Кутта).
Переходные характеристики (графическое изображение переходной функции) для аналитического решения и численного интегрирования с выбранным шагом необходимо построить в одной системе координат.
3. Определить переходную функцию апериодического звена, для чего из таблицы 2 взять параметры Т и x в соответствии с номером задания.
Эту задачу можно решить либо аналитически, либо численным методом (по желанию) на отрезке [0, 10 Т ]. При численном интегрировании возьмите шаг интегрирования, полученный при решении предыдущей задачи.
Переходную характеристику апериодического звена второго порядка представить на отдельном графике.
Варианты контрольных работ.
Таблица 1. Колебательное звено (задачи 1 и 2)
| x T [с] | 0.1 | 0.15 | 0.2 | 0.25 | 0.3 |
| 1.0 | |||||
| 1.5 | |||||
| 2.0 | |||||
| 2.5 |
Таблица 2. Апериодическое звено второго порядка (задача 3)
| x T [с] | 1.5 | 2.0 | 2.5 | 3.0 | 3.5 |
| 3.0 | |||||
| 3.5 | |||||
| 4.0 | |||||
| 4.5 |
