Сформулировать теорему, позволяющую судить о линейной независимости векторов, заданных своими координатами

Теорема. Для того, чтобы m векторов n-мерного линейного пространства были линейно независимыми, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы этой системы был равен m.

Следствие 1. Система n векторов n-мерного линейного пространства линейно независима тогда и только тогда, когда матрица этой системы векторов является невырожденной.

Следствие 2. Если ранг матрицы системы m векторов линейного пространства равен r, максимальное число линейно независимых векторов этой системы равно r.

Замечание. Максимальное число линейно независимых строк любой матрицы равно максимальному числу ее линейно независимых столбцов, то есть равно рангу этой матрицы.

1.9. Какая матрица называется матрицей перехода

от одного базиса к другому базису n - мерного

пространства V_n?

В линейном n-мерном пространстве V_n зафиксируем два базиса

, , …, (1)

, , …, (2)

Каждый вектор системы (2) можно разложить по базису (1):

= t₁₁ + t₂₁ + … + t_n1

= t₁₂ + t₂₂ + … + t_n1

...........

= t_1n + t_2n + … + t_nn .

Матрица Т =

называется матрицей перехода от базиса (1) к базису (2).

Легко видеть, что матрица Т^-1, обратная матрице Т, является матрицей перехода от базиса (2) к базису (1).