Решение задач. Пример 1.Выяснить, является ли линейным векторным пространством множество R2 всех геометрических векторов

Пример 1. Выяснить, является ли линейным векторным пространством множество R₂всех геометрических векторов, концы которых лежат в первой четверти системы координат.

Решение. Проверим выполнение операций сложения и умножения на число.

В результате сложения двух векторов мы получим вектор, конец которого тоже лежит в первой четверти. При умножении вектора на число a < 0 мы получим вектор, конец которого будет лежать в третьей четверти. Операция умножения на число не выполнена. Значит, данное векторное пространство не является линейным.

Пример 2. В базисе В = (, , ) заданы векторы

= + , = + , = + , = - + 2 + . Доказать, что система В¢ = (, , ) – базис и найти координаты вектора в базисе В¢.

Решение. Выпишем координаты векторов , , , в исходном базисе В = (, , ) в виде матриц - столбцов:

Е¢₁ = ; Е¢₂ = ; Е¢₃ = ; X = .

Убедимся, что векторы , , образуют базис. Составим матрицу А из координат этих векторов и найдем ее ранг.

А = ~ ~ Þ ranq А = 3.

Ранг матрицы равен числу векторов, значит, эти векторы линейно независимы и образуют базис. Матрица А является матрицей перехода Т_В_{® В}_¢ от базиса В к базису В¢ или матрицей линейного преобразования:

Т_В_®_В_¢ = .

Запишем разложение вектора по базису В¢ в векторной и матричной формах:

= a + b + g ,

X = Т_В_®_В_¢ ×X¢,

где X¢ = -матрица-столбец координат вектора в базисе В¢.

Находим искомую матрицу Х¢ с помощью обратного преобразования:

Х¢ = (Т_В_®_В_¢)^-1 × X – формула преобразования координат при преобразовании базиса

Х¢ = × = ,

то есть = 2 - .

Пример 3. Даны два линейных преобразования:

Найти линейное преобразование, выражающее вектор ² через вектор .

Решение. Запишем матрицы линейных преобразований:

Х¢ = , A = , X = ,

X² = , B = .

В матричной форме линейные преобразования запишутся так:

Х¢ = А Х, X² = B × X¢.

Подставим во второе равенство выражение Х¢ из первого, получим

X² = В × А × Х.

Матрица С = В × А будет являться матрицей искомого линейного преобразования

С = В × А = = .

Следовательно, искомое преобразование таково:

Пример 4. Найти матрицу перехода (матрицу линейного преобразования) Т_В_®_В_¢, если базис В¢ = (, ) получен зеркальным отображением от вектора базиса В = (, ).