2015-01-07
1332
Функция такого вида (когда одна функция вложена в другую) и называется сложной функцией.
Функция 
называется внешней функцией, а функция 
– внутренней (или вложенной) функцией.
Пример 1
Найти производную функции 
Под синусом у нас находится не просто буква «икс», а целое выражение 
, поэтому найти производную сразу по таблице не получится. Также мы замечаем, что здесь невозможно применить первые четыре правила, вроде бы есть разность, но дело в том, что «разрывать на части» синус нельзя: 
В данном примере уже из моих объяснений интуитивно понятно, что функция – это сложная функция, причем многочлен является внутренней функцией (вложением), а 
– внешней функцией.
Первый шаг, который нужно выполнить при нахождении производной сложной функции состоит в том, чтобы разобраться, какая функция является внутренней, а какая – внешней.
В случае простых примеров вроде понятно, что под синус вложен многочлен . А как же быть, если всё не очевидно? Как точно определить, какая функция является внешней, а какая внутренней?
Представим, что нам нужно вычислить на калькуляторе значение выражения 
при 
(вместо единицы может быть любое число).
Что мы вычислим в первую очередь? В первую очередь нужно будет выполнить следующее действие: 
, поэтому многочлен и будет внутренней функцией :
Во вторую очередь нужно будет найти 
, поэтому синус – будет внешней функцией: 
применяем правило дифференцирования сложной функции .
Сначала находим производную внешней функции 
(синуса), смотрим на таблицу производных элементарных функций и замечаем, что 
. Все табличные формулы применимы и в том, случае, если «икс» заменить сложным выражением, в данном случае:
Обратите внимание, что внутренняя функция 
не изменилась, её мы не трогаем.
Ну и совершенно очевидно, что 
Результат применения формулы в чистовом оформлении выглядит так:
Далее мы берем производную внутренней функции, она очень простая:
Постоянный множитель обычно выносят в начало выражения:
