Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться либо не появиться. Вероятность наступления А в каждом испытании постоянна и равна р, а не наступления q.
Закон распределения случайной величины. Х - “ числа появлений события А в этих испытаниях” имеет вид:
Х | … | k | … | n | ||||
Р | Pn | Pn(1) | Pn(2) | Pn(3) | … | Pn(k)=Cnkpkqn-k | … | Pn(n) |
Биномиальным называют распределение вероятностей, определяемое формулой Бернулли. Биномиальное распределение широко применяется для исследования дискретных случайных величин, встречающихся в теории надёжности.
По такому закону распределена случайная величина “ число отказов, возникающих в процессе проведения однотипных независимых испытаний выборки изделий”, при условии, что равновероятно появление отказа в любом из проводимых испытаний случайной выборки изделий данного типа.
Введем обозначения:
р – вероятность появления отказа в каждом испытании (р = const),
n - число испытаний;
m – возможное число появлений отказов при n испытаниях
(0 ≤ m ≤ n).
Тогда вероятность того, что в n независимых испытаниях произойдет ровно m отказов, вычисляется по формуле Бернулли:
Рn(т) =
где т= 0,1,2,…, п;
В. Распределение Пуассона.
При очень малых значениях вероятности р, достаточно больших п биномиальное распределение может быть заменено распределением Пуассона. Сделаем также допущение, что nр = а =const. Это означает, что среднее число появлений события в различных сериях испытаний, т.е. при различных значениях n, остается неизменным. Тогда вероятность того, что в n независимых испытаниях событие появится ровно т раз, вычисляется по формуле
где а =nр;
n - число всех испытаний;
р – вероятность появления события в каждом испытании.
Распределение Пуассона, или “закон редких явлений”, применяется для определения вероятности отказа или отбраковки m изделий из выборки, содержащей n однотипных изделий (при указанных ограничениях, накладываемых на n и р, а именно, при р ≤0,1).
На практике часто применяется следующий критерий правильности предположения о наличии пуассоновского распределения дискретной случайной величины: если статистические оценки математического ожидания и дисперсии случайной величины близки по значению, то случайная величина распределена по закону Пуассона.