Билет 8. Движение тел с переменной массой

Вопрос 1

Движение тел с переменной массой. Уравнение Мещерского.

Движение тел с переменной массой – движение при котором тело может приобретать ускорение не за счёт внешних сил, а за счёт изменения массы.

Уравнение движения тел с переменной не содержат ничего принципиально нового по сравнению с законами Ньютона, и являются их следствиями. Но они представляют большой интерес в связи с ракетной техникой.

Реактивная сила – это сила упругости, действующая на тело со стороны отбрасываемых им масс.

Выведем уравнение движения материальной точки с переменной массой на примере движения ракеты. Пусть m(t)-масса ракеты в произвольный момент времени t, а v(t)-ее скорость в тот же момент. Импульс ракеты в этот момент будет mv. Спустя dt масса и скорость ракеты получат приращение dm и dv(dm-отрицательна). Импульс ракеты станет (m+dm)(v+dv). Сюда надо добавить импульс движения газов, образовавшихся за dt. Он равен dm_газv_газ –масса и скорость газа, образовавшихся за dt. Вычитая из суммарного импульса системы в момент t+dt импульс системы в момент t, найдем приращение этой величины за dt. Это приращение равно Fdt, где F – геометрическая сумма всех внешних сил, действующих на ракету.

(m+dm)(v +d v)+dm­_газ v _газ-m v = F dt

Время dt устремим к нулю. Поэтому, раскрывая скобки, отбрасываем dmdv. Далее dm+dm_газ=0 и v _отн= v _газ- v есть скорость истечения газов относительно ракеты. Тогда

md v = v _отнdm + F dt, деля на dt

m(d v /dt) = v _отн(dm/dt) + F (1)

Член v_отн(dm/dt) – реактивная сила. Уравнение (1)-уравнение Мещерского или уравнение движения точки с переменной массой.

Уравнение Мещерского:

M dv/ dt = F – m v_отн

mº -dM/dt (dM < 0).