Уравнения движения по Лагранжу и Гамильтону

Классическая механика со времён своего возникновения развивалась в двух направлениях – векторный и аналитический подходы. Эти два направления различаются формулировкой законов движения, однако решают одну задачу – нахождение траектории движения частицы. В основе векторной механики лежат законы Ньютона. Основными здесь являются векторные величины – скорость, импульс, момент импульса (угловой момент), сила, момент силы. Если определены все векторы сил, действующих на частицу, то можно решить уравнение движения и построить траекторию движения. В основе аналитической механики лежит так называемый принцип наименьшего действия, он играет здесь роль второго закона Ньютона. Основными здесь являются уже не векторные, а скалярные величины. Возникновение данного направления связано с именем Лейбница, а развитие – с именами таких учёных как Эйлер, Лагранж и Гамильтон. Преимущества аналитического подхода хорошо прослеживаются при формулировке задач, к которым законы Ньютона не применимы. При этом и аналитическая, и векторная механика приводят по существу к одинаковым результатам, хотя формально и различными методами.

3.1.1.1. Векторный подход к описанию движения механической системы и законы сохранения.

Рассмотрим движение частицы с массой m, представляемой в виде движущейся материальной точки. Под материальной точкой, в общем случае, понимают тело (частицу), обладающее массой, размерами и формой которого в условиях данной задачи можно пренебречь. В декартовой системе координат, положение частицы в данный момент времени задаётся радиус-вектором , который указывает положение материальной точки в пространстве. При этом векторы в трёхмерном пространстве задаются не только тройкой компонент x, y и z, но и явным разложением по ортам координатных осей :

Для движущейся точки каждая из проекций x, y, z, а, следовательно, и радиус-вектор являются функциями времени . В общем случае, движение материальной точки определяется тремя скалярными уравнениями вида:

которые представляют собой не что иное, как параметрическое задание некоторой кривой и таким образом уравнение вида:

будет определять траекторию движения частицы (материальной точки). Тогда основное уравнение динамики механической системы:

с учётом приведенных выше соображений:

а также учитывая, что

после соответствующих подстановок может быть представлено далее к виду:

Полученное выше основное уравнение динамики механической системы:

с учётом выражения:

может быть представлено также в виде:

имеем таким образом:

Общее решение вида:

в виде явной функции

включает произвольные постоянные, значение которых определяют из начальных условий. Например, в заданный момент времени t=t₀ привязываем конкретные величины и радиус-вектору , и соответственно вектору скорости , для которого, как и для случая радиус-вектора :

где

Подобный выбор начальных условий (начальное положение и скорость) в виде:

является наиболее целесообразным, однако возможны и другие способы выделения частного решения из общего. Важно, что по теореме Коши частное решение всегда существует и является единственным. Тем самым эволюция механической системы, её развитие во времени всегда строго детерминирована. Это и есть лапласовский детерминизм классической механики. Рассмотрим наиболее важный класс систем, с которыми имеет дело квантовая механика – это так называемые потенциальные системы. Для них по определению работа вектора силы на заданном направлении не зависит от траектории перемещения (пути). Это в свою очередь означает, величина произведения вектора силы на перемещение является полным дифференциалом некоторой функции координат:

здесь знак «минус» выбирается для того, чтобы работа силы по перемещению частицы из начальной точки в конечную, равнялась разности функции U в начале и конце пути, то есть убыли величины U:

Величина U как функция координаты называется потенциальной функцией (энергией) механической системы или просто потенциалом сил. Потенциальная энергия – часть полной энергии механической системы, определяемая взаимным расположением тел и характером сил взаимодействия между ними. С понятием «потенциальная система» тесно связаны представления о так называемых потенциальных полях, в которых работа, совершаемая действующими на тело силами по перемещению его из начального положения в конечное и не зависящая от формы траектории по которой осуществляется такое перемещение. В общем случае, потенциальную энергию какого-то определённого положения тела считают равной нулю (выбирают за нулевой уровень отсчёта), а энергию других положений, в которые тело перемещается под действием работы силы, отсчитывают относительно принятого нулевого уровня отсчёта. Итак, как говорилось уже выше, если некоторая сила действует на покоящееся тело, вызывая его движение, то совершается работа, в ходе которой происходит перемещение покоящегося тела из начального положения в конечное со скоростью . При этом энергия перемещаемого тела возрастает на величину затраченной работы, что приводит в свою очередь к увеличению кинетической энергии тела. Очевидно, перемещение тела будет возможно в том случае, если работа силы, действующая на покоящееся тело, преодолеет консервативные силы, определяющие положение покоящегося тела.

Если это становится возможным, и тело перемещается из своего начально положения в конечное, то работа перемещения будет совершаться за счёт убыли потенциальной энергии перемещаемого тела, т.е.

В общем случае, консервативными называют силы, которые действуют на перемещаемые тела в потенциальных системах, препятствуя перемещению этих тел в пространстве (фиксирующие их положения). Учитывая, что:

имеем:

Из данного уравнения видно, что задание U как функции координаты , эквивалентно заданию векторного поля силы . Так, имеем:

Разлагая вектор силы по трём неэквивалентным направлениям в пространстве, будем иметь соответственно:

Учитывая также, что , а также рассматривая потенциал сил как полный дифференциал:

будем иметь соответственно:

Полученное выражение для наглядности можно будет также представить к виду:

отсюда легко получить выражения для компонент силы , и . Для этого

откуда соответственно:

будем записывать эти равенства, используя понятие градиента как вектора:

или

следовательно, для потенциальных систем:

и уравнение второго закона Ньютона:

конкретизируется:

Таким образом, потенциальными являются системы, которые можно описать в виде градиента скалярной функции . В общем случае U может явно зависеть от времени . Если же такой зависимости от времени нет, т.е.

то система оказывается консервативной – сохраняется её полная энергия, то есть в системах такого типа, потенциал не меняется со временем. Консервативные системы являются важным типом потенциальных систем. Перепишем векторное соотношение:

для отдельных компонент пространства, в соответствии с условиями вида:

тогда:

каждое из уравнений (правую и левую части) умножим на соответствующие скорости и в результате получим:

откуда следует, что:

Необходимо отметить, что при выполнении преобразований, была нарушена тождественность правых и левых частей в соответствующих уравнениях, то есть мы получили выражения, в которых левая часть больше правой в два раза. Для того чтобы правые и левые части этих уравнений были тождественны друг другу, домножим левые части каждого из уравнений на скалярный множитель , тогда:

складывая почленно полученные уравнения, а также представляя правую часть каждого из них как производную сложной функции:

На основании условия консервативности потенциальной системы:

имеем:

тогда соответственно:

или в окончательном виде имеем:

Полученное нами уравнение, представляет собой аналитическое выражение закона сохранения энергии, в левую часть которого введена кинетическая энергия T механической системы:

Действительно, по определению имеем:

тогда в соответствии с условиями:

выражение для скорости, может быть представлено далее к виду:

или для квадрата векторной величины:

тогда соответственно:

В общем случае кинетическая энергия в классической механике является мерой механического движения тела и определяется работой, которую необходимо совершить, чтобы вызвать это движение. Так, например, если сила действует на покоящееся тело и вызывает его движение со скоростью , то совершается работа, а энергия движущегося тела возрастает на величину затраченной работы.

Таким образом, работа силы на пути, который тело прошло за время увеличения скорости от 0 до , идёт на увеличение кинетической энергии тела, т.е.

исходя из выражения второго закона Ньютона:

где

имеем соответственно:

учитывая также, что:

имеем соответственно:

поскольку:

тогда

и таким образом имеем:

откуда:

или после соответствующих подстановок в координатном представлении:

Учитывая приведенные выше соображения, с учётом выражения для кинетической энергии механической системы, полученное нами ранее аналитическое выражение закона сохранения энергии, можно теперь будет преобразовать к менее громоздкому виду. Итак, имеем соответственно:

откуда:

и соответственно:

или

Учитывая, что:

имеем

Поскольку производная от полной энергии равна нулю, то это в свою очередь означает, что последняя есть величина постоянная:

это является формулировкой закона сохранения энергии, согласно которому энергия не возникает из неоткуда и не исчезает бесследно, она переходит из одной формы существования в другую (например, электрическая энергия может переходить в механическую, механическая энергия может переходить в тепловую и наоборот). В дальнейшем без оговорок будет считаться соблюдение условия консервативности, а значит и закон сохранения энергии. Необходимо обратить внимание на то, что начальные условия вида:

фиксируют и значения полной энергии механической системы , которая в процессе движения неизменна. До сих пор нами рассматривались одночастичные системы, состоящие из одной частицы с массой m. Пусть имеется некоторая механическая система, состоящая из N частиц, каждая из которых задаётся своим радиус-вектором :

и массой , где . Тогда для каждой частицы рассматриваемой механической системы оказывается справедливым одночастичное уравнение, которое распространяется теперь уже на случай многочастичных систем и увязывающее между собой потенциальную энергию и второй закон Ньютона.

Имеем соответственно:

где – потенциальная энергия системы взаимодействующих частиц, причём градиенты имеют прежний смысл:

как следствие из уравнения:

сохраняется полная энергия системы:

Итак, как мы смогли увидеть, подход к анализу одночастичных и многочастичных механических систем один и тот же. При этом как это оказывается очевидным, полученные выше уравнения по определению включают в себя ньютонову механику, применительно к одночастичным системам, которую достаточно просто распространить на случай многочастичных систем.

3.1.1.2. Особенности аналитического подходы при описании движения механической системы.

До сих пор основные понятия и законы классической механики трактовались, были сформулированы и записаны в рамках векторного подхода. Однако для многих задач оказывается неудобным использовать ньютоновы уравнения движения, так как они жёстко связаны с декартовой системой координат. Если же в движении частиц имеются ограничения или какие-либо симметрии, то более удобен другой выбор координат. Например, частица движется по кругу радиусом (жёсткий плоский ротатор), тогда:

Подобные соотношения между координатами частиц называют механическими связями. При наличии такого рода связей предпочтительнее использовать криволинейные координаты (например, полярные, сферические, цилиндрические, эллиптические). Так, для описания движения одной частицы в различных полях вполне достаточно механики Ньютона. Если же речь идёт о движении системы частиц, то, как мы видели в предыдущем разделе, уравнение Ньютона нужно записать для каждой из частиц:

а, следовательно, нужно выявить все силы, действующие на данную частицу. В результате получается система, состоящая из уравнений, решение которой в целом ряде случаев оказывается проблематичным. Очевидно, что такой подход является довольно громоздким. С другой стороны, достаточно часто возникают задачи, в которых рассматривается движение системы связанных частиц. В таких случаях желательно иметь систему независимых уравнений движения. Это в свою очередь означает, что каждая координата должна входить только в одно уравнение движения. Перечисленные проблемы удалось решить с помощью, так называемых обобщённых координат, которые позволили перейти к уравнениям движения в так называемой обобщённой форме. Итак, как мы видели, для определения положения системы, содержащей несвязанных частиц в пространстве, следует задать радиус-векторов , то есть декартовых координат. Если же предположить, что между этими частицами существует жёсткая связь, то их координаты оказываются зависимыми и для однозначного задания положения системы в пространстве, достаточно меньшего числа координат, а именно, координат, где - число уравнений связи между координатами частиц. Так, например, в задаче на жёсткий плоский ротатор, где частица движется по окружности радиусом :

можно исключить координату:

Аналогичная ситуация возникает также при рассмотрении задачи на плоский маятник, в котором некоторая частица массой m, подвешена на жёстком стержне длиной l. Здесь движения маятника оказываются ограниченными в том смысле, что длина стержня l остаётся постоянной и связана с декартовыми координатами частицы простым соотношением вида:

В этом случае координаты x и y являются зависимыми (связанными) переменными. Тогда координату x можно выразить через y и, наоборот, координату y можно выразить через x. Для плоского двойного маятника можно записать два уравнения связи между соответствующими координатами:

Число независимых переменных, задание которых необходимо для однозначного определения положения системы частиц в пространстве, называется числом степеней свободы. Эти величины необязательно должны быть декартовыми координатами. Число степеней свободы системы, состоящей из частиц, может быть вычислено на основании формулы вида:

где s – число степеней свободы, P – число уравнений связи между координатами частиц и k – некоторое число (скаляр). При этом k может принимать значения от одного до трёх в зависимости от того, как именно происходит движение механической системы – вдоль линии, плоскости или пространстве. Так, если движение механической системы происходит вдоль некоторой линии (одномерный случай), то k в таком случае будет равняться единице. Если движение механической системы происходит в плоскости (двумерный случай), то k в таком случае будет равняться двум. В случае движения механической системы в пространстве, в поле трёх пространственных координат, k будет равняться трём. Таким образом, для описания движения двух несвязанных между собой частиц в пространстве, необходимо шесть координат. Если же эти две частицы связаны между собой жёсткой связью, то число степеней свободы будет равняться пяти. В общем случае, любые независимые величины , которые однозначно определяют положение системы частиц с s степенями свободы в пространстве, называют её обобщёнными координатами, а соответствующие производные от обобщённых координат по времени – обобщёнными скоростями. Обобщённые координаты позволяют придать уравнениям движения самую общую форму. Известно несколько способов построения механики в терминах обобщённых координат. Наиболее значимыми среди них являются подходы Эйлера, Лагранжа и Гамильтона. В рамках данной работы будут рассмотрены два из них – формальные подходы Лагранжа и Гамильтона. Однако наиболее существенным из двух указанных выше подходов, и в первую очередь для квантовой механики, оказался тот из них, что был развит в 1835 г. лордом Гамильтоном. Формализмы Лагранжа и Гамильтона – альтернативные подходы к решению задачи о движении механической системы. Каждый из них при описании механики движения исходит из тех или иных соображений и представлений. С формально-математической точки зрения механика Лагранжа основывается на дифференциальном уравнении второго порядка, в то время как в основе гамильтоновой механики лежат дифференциальные уравнения первого порядка. Переход от одного формализма к другому, отнюдь не означает переход от более трудного в математическом отношении к более лёгкому методу. В отличие от механики Ньютона, рассматривающей движение частиц в трёхмерном пространстве с использованием векторов-сил, в механике Лагранжа такое движение изображается траекторией в - мерном пространстве обобщённых координат и скоростей, а в рамках формального подхода Гамильтона – траекторией в - мерном фазовом пространстве обобщённых координат и импульсов. В рамках аналитического подхода Лагранжа вводятся в механику представления о принципе наименьшего действия, согласно которому из всех возможных траекторий движения реализуется та, что отвечает минимуму величины действия. Преимуществом аналитического подхода по сравнению с векторным, жёстко привязанным к декартовой системе координат, оказалось введение так называемых обобщённых величин, позволивших придать уравнениям движения самую общую форму. При этом использование таких понятий как «более лёгкий» или «более сложный» подходы не корректны. Каждый из подходов является альтернативным способом решения задачи о движении механической системы, по-своему раскрывая структуру механики и в конечном итоге, картину природы.

3.1.1.3. Рассмотрение движения механической системы в рамках формального подхода Лагранжа.

Как уже говорилось ранее, различные подходы к описанию движения механической системы, в конечном счёте, должны приводить к одинаковым результатам. Один из таких подходов был развит в 1798 г. Ж. Лагранжем. Лагранжева механика представляет собой обобщение классических представлений относительно таких фундаментальных понятий как координата, скорость, импульс и сила, которые вводятся в уравнения движения не в координатном, а в обобщённом, независящем от выбора системы координат виде. Данный подход основывается на вариационном принципе, в котором состояние механической системы задаётся обобщёнными координатами и их производными по времени – обобщёнными скоростями . Согласно методу Лагранжа, каждой механической системе с s степенями свободы, ставится в соответствие некоторая функция вида:

зависящая от обобщённых координат и скоростей , и, возможно, непосредственно от времени . Такая функция называется функцией Лагранжа или лагранжианом. Для консервативных потенциальных систем эта функция не зависит от времени и определяется как разность кинетической и потенциальной энергии. В силу этого обстоятельства, более общее по своему содержанию выражение:

может быть представлено к виду:

Необходимо отметить, что кинетическая энергия в общем случае зависит от обобщённых координат и скоростей (при движении системы не связанных частиц – только от скоростей), а потенциальная энергия – от обобщённых координат. Каждой из возможных траекторий, по которым происходит движение механической системы, в механике Лагранжа, в общем случае, ставится в соответствие величина так называемого действия S. При этом траекторию объекта получают при помощи отыскания пути, который минимизирует действие S – интеграл от функции Лагранжа L по времени:

или с учётом зависимости вида:

имеем соответственно:

Данные фундаментальные понятия, такие как величина действия S и его полная производная по времени, взятая вдоль траектории – функция Лагранжа, являются исходными в формализме Лагранжа. Анализ последнего выражения показывает, что величина действия имеет размерность [ энергия × время ] или в системе СИ – [ Дж × секунда ], а также, что малая энергия за большой промежуток времени может производить такое же действие, что и большая энергия за малый промежуток времени. Необходимо отметить, что постоянная Планка h или ћ, также представляет собой действие, а точнее квант действия, и имеет аналогичную размерность – [ Дж × секунда ]. Движение механической системы в интервале между двумя заданными моментами времени и происходит так, что действие S принимает минимальное значение (принцип наименьшего действия). Иными словами, из множества траекторий движения реализуется та, при которой действие принимает наименьшее значение. Уравнения движения в лагранжевой механике, в общем случае, основаны на принципе наименьшего (стационарного) действия, называемого также принципом Гамильтона, согласно которому . Согласно данному принципу, механическая система движется по траектории, которая отвечает минимальному действию хотя бы в некоторой малой окрестности множества возможных траекторий. Под стационарностью подразумевается, что действие не меняется в первом порядке малости при бесконечно малом изменении траектории с закреплёнными начальной и конечной точками. Любая траектория удовлетворяющая принципу наименьшего действия называется прямым путём между двумя этими точками. Все остальные пути считаются окольными. Необходимо соблюдать осторожность и помнить, что из равенства нулю первой вариации действия следует лишь его стационарность, но не минимальность действия. Легко заметить, что максимального значения функционал действия в классической механике принимать не может, так как частица может пройти тот же самый путь с большей скоростью, при этом её кинетическая энергия на всём пути будет больше, а потенциальная энергия не изменится. Отсюда следует, что действие не ограничено сверху, если не накладывать ограничений на скорости. Однако две точки могут соединяться несколькими путями, на которых действие S принимает стационарное значение. Возможны также и более сложные случаи, когда материальные точки могут соединяться несколькими прямыми путями, но значения для величины действия на них различны. Из принципа наименьшего действия, в соответствии с вариационным исчислением, можно вывести уравнение движения, которое в рассматриваемом формализме называют уравнением Лагранжа:

где – набор обобщённых координат ; – набор обобщённых скоростей ; – функция Лагранжа (лагранжиан). Для вывода уравнения Лагранжа рассмотрим некоторую механическую систему , состоящую из n -го количества материальных точек, обладающих s степенями свободы. Пусть каждая такая точка рассматриваемой системы обладает некоторой массой и на каждую такую из таких точек в данной механической системе действует некоторая сила . У каждой из точек рассматриваемой системы имеется некий радиус-вектор точки приложения силы , то есть всё сосредоточено в одной точке. Для наглядности возьмём какую-нибудь произвольную неподвижную точку в системе координат и к точке проведём радиус-вектор . Отсюда можно рассматривать ещё как радиус-вектор точки приложения силы . Таким образом, если для каждой из точек имеется s степеней свободы, то можно ввести s обобщённых координат и таким образом каждая из будет являться функцией s обобщённых координат , т.е. . Обобщённые координаты могут быть разными по природе. Это могут быть как декартовы координаты x, y и z, так и углы поворота (криволинейные координаты). Обобщённые координаты могут также представлять собой их комбинацию. Главное то, что они однозначно описывают положение механической системы. На основании принципа возможных перемещений для суммы элементарных работ, имеем:

из предположения, что связи между всеми точками рассматриваемой системы являются идеальными. Учитывая, что:

тогда на основании проделанных выше выкладок имеем соответственно:

Для того чтобы не запутаться в имеющихся у нас индексах и обозначениях, примем – для векторных величин и – для скалярных величин. Сопоставляя между собой полученные выше соотношения, имеем:

или в окончательном виде:

В ходе проделанных выкладок становится понятней структура скалярного произведения в выражении для суммы элементарных работ. Действительно, сопоставляя исходное выражение с уравнением, полученным нами в ходе проделанных выше выкладок:

находим соответственно, что член вида:

есть не что иное, как скалярное произведение работы силы к точке приложения этой силы на элементарное перемещение этой точки по всему пространству обобщённых координат .

Полученное нами уже ранее выражение вида:

уточняет смысл скалярного произведения в исходном выражении для суммы элементарных работ:

Итак, имеем соответственно:

Как было выяснено нами выше, член вида:

есть не что иное, как скалярное произведение соответствующих векторов – динамических переменных и тогда суммирование по всему фазовому пространству всевозможных элементарных работ приводит к логическому появлению новой величины – обобщённой силы , таким образом, имеем соответственно:

и таким образом:

Полученное выражение представляет собой принцип возможных перемещений в обобщённых координатах:

здесь есть скалярная величина, а s представляет собой уже не число степеней свободы, а число слагаемых. Однако здесь очень важен тот факт, что эти есть независимые между собой перемещения. Из независимости между собой всех возможных следует, что с полным правом мы можем записать:

выражение вида:

носит название принципа возможных перемещений в обобщённых силах. До сих пор мы рассматривали механическую систему в статических условиях, т.е. пока всё это была статика. При рассмотрении же динамики, необходимо учитывать ещё принцип Д'Аламбера и используя данный принцип, записать полученный нами выше принцип возможных перемещений в обобщённых координатах уже для движущейся системы. Итак, переходим к движению. Используя принцип Д'Аламбера, согласно которому систему сил, действующих на движущуюся механическую систему, дополняют силами инерции и утверждают, что полученная система сил (то есть действующая система сил и ещё силы инерции) оказываются уравновешенными. Поскольку система действующих на систему сил (в том числе и сил инерции) оказывается уравновешенной, то к движущейся механической системе оказываются применимы все уравнения статики, в том числе и принцип возможных перемещений

который будет справедлив и для динамики, если в эти силы включить ещё силы инерции , то есть будем иметь соответственно:

или для некоторой точки:

Выясним, откуда собственно берётся принцип Д'Аламбера. Так, например, если представить движущуюся механическую систему как некую совокупность k точек, то при описании всех сил действующих на некоторую точку рассматриваемой механической системы, достаточно справедливым является утверждение, что:

тогда для суммы всех сил действующих на некоторую точку механической системы будем иметь соответственно:

или при условии, что:

имеем:

Рассмотрим теперь более подробней полученное нам выше аналитическое выражение для принципа возможных перемещений в обобщённых силах , имеем:

и отделим из этой системы сил, действующих на систему, обычные силы , тогда:

Полученное выражение представляет собой общее уравнение динамики в обобщённых координатах или в обобщённых силах. Сопоставляя выражения вида:

а также, что:

будем иметь для соответственно:

Полученные нами в ходе рассуждений выражения:

являются стартовыми при выводе уравнения Лагранжа 2-го рода. Итак, имеем соответственно:

Рассмотрим в данном уравнении, скалярное произведение вида:

имеем по определению:

тогда:

Далее необходимо выполнить некоторые преобразования, которые называются тождествами Лагранжа. Имеем соответственно:

и далее, беря полную производную от , одновременно дифференцируя по времени:

имеем:

или с учётом выражения:

имеем:

и далее полученное выражение дифференцируем частным образом по :

и таким образом имеем:

Полученное выражение представляет 1-е тождество Лагранжа. Далее, возьмём полученное нами ранее исходное выражение:

и продифференцируем его частным образом по , где j – некоторое число. Имеем соответственно:

как это хорошо видно, правые части полученных выражений совпадают, т.е.

Полученное выражение представляет 2-е тождество Лагранжа, или после формальной смены коэффициента j на коэффициент i, имеем соответственно:

при этом под термином «формально», понимают смену местами частной и полной производной. Итак, имеем соответственно:

Возвратимся теперь к ранее полученному выражению:

здесь:

или после соответствующих подстановок приходим к уравнению вида:

откуда соответственно:

Имеем:

поскольку:

тогда:

Запишем теперь аналитическое выражение для кинетической энергии отдельно взятой k -той точки:

тогда:

Как это видно из простого сравнения, полученное нами выше выражение для , является частью выражения:

где

Дифференцируя по времени, выражение для , будем иметь соответственно:

отсюда очень хорошо видно, что в выражении:

сумма вида:

Учитывая, что:

а также:

Подстановка соответствующих выражений в исходное уравнение:

приводит к выражению вида:

учитывая также, что:

после соответствующих подстановок, имеем:

поскольку:

тогда:

Полученному нами выше уравнению можно придать также и несколько иной вид, если следовать такого рода рассуждениям. Так, по определению имеем:

тогда

с учётом:

имеем соответственно:

В этом частном случае, который имеет наиболее важное значение, уравнение:

может быть сведено к эквивалентному ему выражению вида:

с учётом того, что:

и потенциал сил U является функцией только координат, то это уравнение можно существенно упростить, введя функцию Лагранжа (лагранжиан) L:

тогда:

где – набор обобщённых координат ; – набор обобщённых скоростей ; – функция Лагранжа (лагранжиан). Преобразование данного уравнения к виду:

позволяет в свою очередь рассматривать частную производную от функции Лагранжа по обобщённой скорости как обобщённый импульс, а производную от функции Лагранжа по обобщённой координате, как обобщённую силу:

тогда соответственно:

что эквивалентно уравнению:

Сравнение полученного нами выше уравнения Лагранжа 2-го порядка с основным уравнением динамики:

указывает на полную аналогию этих уравнений. В общем случае, лагранжиан рассматриваемой механической системы определяется с точностью до полной производной по времени. В общем случае, добавление такого рода конструкции в функцию Лагранжа, не повлияет на вид уравнений движения.

3.1.1.4. Гамильтоновы уравнения движения.

В классической механике имеется целый ряд задач, в которых вместо обобщённых координат и скоростей удобно использовать обобщённые координаты и импульсы . В этом случае описание движения механической системы проводят в формализме Гамильтона. Опуская здесь строгий вывод, последуем упрощённым рассуждениям, исходя из известно ньютоновой механики. Выясним, как выглядят уравнения движения для одной частицы:

когда связей нет и декартовы координаты x, y, z представляют собой частный случай обобщённых координат .

Итак, имеем соответственно:

отождествляя:

а также учитывая, что:

имеем для обобщённых скоростей:

или в общем виде:

соответственно обобщённые скорости совпадут с декартовыми. Особенность гамильтоновой механики состоит в том, что вместо обобщённых скоростей , используются обобщённые импульсы . Как известно, вектор импульса вычисляется непосредственно по декартовой скорости:

Отдельные компоненты – импульсы , , – будем воспринимать как обобщённые импульсы , , . Действительно, отождествляя:

будем иметь соответственно:

и аналогично:

или в общем виде:

Однако подобная связь обобщённых скоростей и обобщённых импульсов свойственна только декартовой системе координат. Чтобы прийти к общему определению, необходимо перейти от векторов, к анализу скаляра (инварианта), который уже не зависит от выбора системы координат. Такой величиной, непосредственно связанной с вектором скорости:

является скалярное произведение:

представляющее собой скалярный квадрат скорости, входящий в выражение для кинетической энергии механической системы:

или с учётом приведенных выше соображений: