2015-01-13
528
Пусть функция z=f(x,y) дифференцируема в точке 
некоторой области 
. Рассечем поверхность S, изображающую функцию z, плоскостями x= 
и y= 
. Плоскость x= пересекает поверхность S по некоторой линии 
, уравнение которой получается подстановкой в выражение исходной функции z=f(x,y) вместо х числа . Точка 
принадлежит кривой . В силу дифференцируемости функции z в точке 
функция также является дифференцируемой в точке y= . Следовательно, в этой точке в плоскости x= к кривой может быть проведена касательная 
. Построим касательную 
к кривой 
в точке x= . Прямые и определяют плоскость 
, которая называется касательной плоскостью к поверхности S в точке 
. Составим ее уравнение. Так как плоскость проходит через точку 
, то ее уравнение может быть записано в виде А(
) + В(
) + С(
)=0, которое можно переписать так: 
(разделив уравнение на –С и обозначив А/-С= 
, В/-С= 
). Найдем и . Уравнения касательных имеют вид: 
; 
соответственно. Касательная лежит в плоскости . 
. В итоге 
. Следовательно, 
. Искомое уравнение касательной плоскости: 
. Прямая, проходящая через точку и перпендикулярная касательной плоскости, построенной в этой точке поверхности, называется ее нормалью. Каноническое уравнение нормали: 
.
|
|
|
