Пусть функция z=f(x,y) дифференцируема в точке некоторой области
. Рассечем поверхность S, изображающую функцию z, плоскостями x=
и y=
. Плоскость x=
пересекает поверхность S по некоторой линии
, уравнение которой получается подстановкой в выражение исходной функции z=f(x,y) вместо х числа
. Точка
принадлежит кривой
. В силу дифференцируемости функции z в точке
функция
также является дифференцируемой в точке y=
. Следовательно, в этой точке в плоскости x=
к кривой
может быть проведена касательная
. Построим касательную
к кривой
в точке x=
. Прямые
и
определяют плоскость
, которая называется касательной плоскостью к поверхности S в точке
. Составим ее уравнение. Так как плоскость
проходит через точку
, то ее уравнение может быть записано в виде А(
) + В(
) + С(
)=0, которое можно переписать так:
(разделив уравнение на –С и обозначив А/-С=
, В/-С=
). Найдем
и
. Уравнения касательных имеют вид:
;
соответственно. Касательная
лежит в плоскости
.
. В итоге
. Следовательно,
. Искомое уравнение касательной плоскости:
. Прямая, проходящая через точку
и перпендикулярная касательной плоскости, построенной в этой точке поверхности, называется ее нормалью. Каноническое уравнение нормали:
.