Дифференцируемость функций нескольких переменных. Полный дифференциал

Пусть функция z = f (x; у) определена в некоторой окрестности точки М (х; у). Составим полное приращение функции в точке М:

∆z = f (x + ∆х; у + ∆у) – f (x; у).

!! Функция z = f (x; у) называется дифференцируемой в точке М (х; у), если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде

∆z = А · ∆х + В · ∆у + α · ∆х + β · ∆у, (44.1)

где α = α (∆х, ∆у) → 0 и β = β (∆х, ∆у) → о при ∆х → о, ∆у → о.

Сумма первых двух слагаемых в равенстве (44.1) представляет собой главную часть приращения. функции.

Главная часть приращение функции z = f (x; у), линейная относительно

∆х и ∆у, называется полным дифференциалом этой функции и

обозначается символом dz:

dz = А · ∆х + В · ∆у. (44.2)

Выражения А · ∆х и В · ∆у называют частными дифференциалами.

Для независимых переменных х и у полагают ∆х = dx и ∆у = dy.

Поэтому равенство (44.2) можно переписать в виде

dz = А · dx + В · dy. (44.3)

Теорема 44.2 (необходимое условие дифференцируемости функции).

Если функция z = f(x; у) дифференцируема в точке М(х; у), то она непрерывна в этой точке, имеет в ней частные производные и причем

Как следствие теоремы получаем формулу для вычисления полного дифференциала. Формула (44.3) принимает вид:

(44.5)

или

где d_xz = dx, d_yz = dy - частные дифференциалы функции z = f (x; у).

Теорема 44.3 (Достаточное условие Дифференцируемости функции).

Если функция z = f (x; у) имеет непрерывные частные производные и в точке М (х; y), то она дифференцируема в этой точке и ее полный дифференциал выражается формулой (44.5).