Свойства МО

Св-во 1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:

М (С) = С.

Доказательство. Будем рассматривать постоянную С как дискретную случайную величину, которая имеет одно возможное значение С и принимает его с вероятностью р =1. Следовательно,

М(С) = С·1=С.

Две случ.величины Х и У назыв-ся независимыми, если з-н распределения одной из них не зависит от того, какие значения принимает другая величина.

Произведением двух СВ Х и У назыв-ся СВ ХУ, возможные значения к-рой = произведениям каждого из возможных значений одной на каждое возможное значение другой, а вер-ти возможных значений СВ ХУ = произведениям вер-тей возможных значений сомножителей.

Св-во 2. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

M(XУ) = M(X)M(У).

Док-во: приведем для СВ, имеющих по 2 возможных значения:

Тогда по опр-ю МО имеем: М(ХУ)= х1у1· рх1ру1+ х2у2· рх2ру2+х1у2·рх1ру2+х2у1· рх2ру1=х1рх1(ру1у1+ ру2у2)+х2рх2(ру1у1+ ру2у2)=(х1рх1+х2рх2)(ру1у1+ ру2у2)=М(Х)М(У). ЧТД

Замечание: Независимость СВ Х и У использовано при вынесении множителя ру1у1+ ру2у2 за скобки, т.к. это возможно при условии равенства выражений в обеих скобках, т.е. при одинаковом з-не распределения СВ У в случаях Х=х1 и Х=х2.

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

М (СХ) = СМ (X).

Док-во: СВ Х и С независимы по смыслу. Поэтому М(СХ)=М(С)·М(Х), т.к. М(С)=С=>ЧТД

Замечание. Св-во 2 МО можно обобщить для нес-ких взаимно независимых СВ, например, для трех СВ: М(ХУZ)=М(Х)+М(У)+М(Z)

Суммой двух СВ Х и У назыв-ся СВ Х+У, возможные значения к-рой равны суммам каждого из возможных значений одной с каждым возможным значением другой, а вер-ти возможных значений СВ Х+У= произведениям вер-тей возможных значений слогаемых. Табл.распределения Х+У