Дисперсия и СКО ДСВ. Св-ва дисперсии

МО хар-ет СВ недостаточно полно. В кач-ве примера можно привести две СВ, к к-рых одинаковы МО и даже вероятности возможных значений, но у одной возможные значения рассеяны около ценра распределения (МО) больше, у другой – меньше.

М(Х)=1/2(-90+110)=10

М(У)=1/2(9+11)=10

Для сравнения СВ по степени рассеивания около МОвводят числовую хар-ку СВ – дисперсию.

Отклонением СВ назыв-ся СВ, равное разности СВ и ее МО, т.е. отклонение СВ Х=Х-m_х

Св-вом отклонения явл-ся то, что МО отклонения=0: М(Х-m_х)=М(Х)-М(m_х)=m_х-m_х=0

Дисперсией СВ Х назыв-ся МО квадрата отклонения: D(X)=D_x=M(х-m_x)²

Выведем формулу более удобную для вычисления дисперсии.

D(X)=D_x=M(X-m_x)²=M(Х²-2Хm_x+m_х²)=V(Х²)-2m_xM(X)+M(m_x²)=M(X²)-2m_x²+m_x²=М(X²)-m_x²

Т.о. дисперсия=МО квадрата СВ – ее МО.

Очевидно, что дисперсия имеет размерность=квадрату размерности СВ. Поэтому вводят среднеквадратическое отклонение (СКО)=квадратному корню из дисперсии. Размерность СКО=размерности СВ: σ(Х)=σ_х=√D_х

Св-ва дисперсии

1. Дисперсия const=0: D(С)=0

Док-во: по опр-ю D(С)=М(С-m_с)²=М(С-С)²=М(0)=0

2.Константу можно выносить за знак D, возводя ее в квадрат:D(CX)=C²D(X)

Док-во:D(CX)=M(CX-M(CX))²=M(C2(Х-М(Х))²)=М(С²)·М(Х-М(Х))²=С²·М(Х-М(Х))²=С²D(X) ЧТД

3.Дисперсия Сум мы двух независимых СВ=сумме их дисперсий:D(Х+У)=D(Х)+D(У)

Док-во:по формуле вычисления дисперсии имеем:

D(Х+У)=М(Х+У)²-М²(Х+У)=М(Х²+2ХУ+У²)-(m_x+m_y)²=М(Х²)+2m_xm_у+М(У²)-mx²-2m_xm_y-my²=(М(Х²)- m_x²)+(М(У²)-m_у²)=D(X)+D(У)

Следствия:

1. Дисперсия суммы нес-ких взаимонезависимых СВ=сумме из дисперсий. Например для трёх: D(X+У+Z)=D(X)+D(Y)+D(Z)

2. 2.Дисперсия суммы постоянной и СВ=дисперсии СВ: D(C+X)=D©+D(X)=0+D(X)=D(X)

3. Дисперсия разности двух независимых СВ=сумме их дисперсий: D(X-У)=D(X)+D(-У)=D(X)+

(-1)²D(У)=D(X)+D(У)

Пример.Реш-е: М(Х)=1/6(1+2+3+4+5+6)=7/2; М(Х2)=1/6(1+4+9+16+25+36_=91/6; D_х=М(Х²)-m²_х=91/6 – 49/4=2,917; σх=√2,917=1,703