Уравнения для рейнольдсовых напряжений

Вывод уравнений для рейнольдсовых напряжений начинается с преобразования уравнения (1.4а). Умножая его на , получим

. (1.7)

Поменяем индексы и местами:

. (1.8)

Суммируя (1.7) и (1.8) получим

(1.9)

В результате осреднения во времени уравнения (1.9) имеем

Умножим уравнение (1.6) на :

. (1.11)

Меняя в последнем уравнении местами индексы и , получаем

. (1.12)

Сумма последних двух уравнений даёт уравнение вида

(1.13)

Уравнение переноса турбулентных или рейнольдсовых напряжений получается вычитанием из уравнения (1.10) уравнения (1.13):

(1.14)

Следует отметить, что первые четыре члена в правой части и член с тройной корреляцией в левой части уравнения (1.14) являются неизвестными.

Преобразуем(1.14). Запишем первые два члена в правой части как

где - единичный тензор.

Третий и четвёртый члены в правой части преобразуются с учётом уравнения неразрывности следующим образом:

Таким образом, (1.14) записывается в виде

или

Где

Левая часть уравнения построена по форме обычного уравнения переноса (равна субстанционной (полной) производной от ). Для четырёх членов в правой части приняты следующие обозначения:

диффузией член, обусловленный молекулярной диффузией, турбулентной диффузией перемешивания посредством взаимодействия пульсаций скорости и турбулентной диффузией давления посредством корреляций давления и скорости;

член перераспределения, описывающий обмен энергией между отдельными составляющими вследствие корреляции давления и напряжения трения;

член порождения или генерации турбулентности, определяющийся произведением рейнольдсовых напряжений и средних градиентов скорости (характеризует перенос энергии от осреднённого течения к пульсационному);

диссипативный член, характеризующий преобразование энергии, подведённой к пульсационному течению, в частности, перенос энергии крупномасштабных вихрей к мелкомасштабным диссипирующим вихрям.

Полученное уравнение(1.15) не является замкнутым, так как неизвестны величины: , , . Для замыкания (1.15) требуется указанные члены соответствующим образом моделировать, используя эмпирические данные или иные соображения, подчас эвристического характера.