1. Сколько надо взять членов арифметической прогрессии:
= ,
чтобы получить сумму, равную 10877?
Решение. По условию , . Подставляя эти значения во вторую формулу суммы арифметической прогрессии:
, т.е. ,
после некоторых преобразований, получим уравнение:
Корни его: и ; из них годится только первый. Следовательно, надо взять 73 члена.
2. Найти арифметическую прогрессию, зная, что сумма первых четырех членов ее равна 26, а произведение тех же членов равно 880.
Решение. По условию:
,
Первое уравнение дает: , откуда . Подставляя во второе уравнение, и упрощая выражения в скобках, получаем:
Освобождаясь от знаменателя и перемножая числители (удобно пользоваться формулами сокращенного умножения), приходим к биквадратному уравнению:
Его корни: , , и . Из выражения находим соответствующие значения первого члена для четырех арифметических прогрессий:
, , ; .
3. Найти три числа, составляющих геометрическую прогрессию, если известно, что сумма первого и третьего членов равна 52, а квадрат второго равен 100.
Решение. По условию имеем:
Из второго уравнения имеем: По свойству геометрической прогрессии: , следовательно, по теореме обратной теореме Виета и - корни уравнения:
.
Отсюда найдем: и или и .
Ответ: Числа будут: 1) 50; 10; 2 или 2) 50; -10; 2 или 3) 2; 10; 50 или 4) 2; -10; 50.
4. Доказать, что числа
образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, и найти предел суммы ее членов.
Решение. Для доказательства того, что данные числа образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, надо проверить, будут ли равны отношения: и , и будут ли они меньше 1. Имеем:
1) = = = ;
2) = = = = .
Так как = = = , то данные числа образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию. По формуле ее суммы находим:
= = = = .