2015-01-21
2937
1. 
Сколько надо взять членов арифметической прогрессии:
= 
,
чтобы получить сумму, равную 10877?
Решение. По условию 
, 
. Подставляя эти значения во вторую формулу суммы арифметической прогрессии:
, т.е. 
,
после некоторых преобразований, получим уравнение:
Корни его: 
и 
; из них годится только первый. Следовательно, надо взять 73 члена.
2. Найти арифметическую прогрессию, зная, что сумма первых четырех членов ее равна 26, а произведение тех же членов равно 880.
Решение. По условию:
,
Первое уравнение дает: 
, откуда 
. Подставляя во второе уравнение, и упрощая выражения в скобках, получаем:
Освобождаясь от знаменателя и перемножая числители (удобно пользоваться формулами сокращенного умножения), приходим к биквадратному уравнению:
Его корни: 
, 
, 
и 
. Из выражения находим соответствующие значения первого члена для четырех арифметических прогрессий:
, 
, 
; 
.
3. Найти три числа, составляющих геометрическую прогрессию, если известно, что сумма первого и третьего членов равна 52, а квадрат второго равен 100.
Решение. По условию имеем: 
Из второго уравнения имеем: 
По свойству геометрической прогрессии: 
, следовательно, по теореме обратной теореме Виета 
и 
- корни уравнения:
.
Отсюда найдем: 
и 
или 
и 
.
Ответ: Числа будут: 1) 50; 10; 2 или 2) 50; -10; 2 или 3) 2; 10; 50 или 4) 2; -10; 50.
4. Доказать, что числа
образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, и найти предел суммы ее членов.
Решение. Для доказательства того, что данные числа образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, надо проверить, будут ли равны отношения: 
и 
, и будут ли они меньше 1. Имеем:
1) = 
= 
= 
;
2) = 
= 
= 
= .
Так как = = 
= 
, то данные числа образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию. По формуле ее суммы находим:
= 
= 
= 
= 
.
