Лабораторная работа № 4. Краткая теория. Вращательным движением называется движение, при котором все точки тела описывают окружности

ПРОВЕРКА ОСНОВНОГО ЗАКОНА ДИНАМИКИ

ДЛЯ ВРАЩАЮЩИХСЯ ТЕЛ

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ. Вращательным движением называется движение, при котором все точки тела описывают окружности, центры которых лежат на одной прямой (ось вращения).

Вращательное движение можно описать с помощью угловых кинематических величин.

1. Вектор углового перемещения - физическая векторная величина, модуль которой равен углу поворота (углу между двумя радиусами, проведенными в начальное и конечное положение материальной точки). Вектор углового перемещения направлен перпендикулярно плоскости, в которой произошел поворот, так, что с конца вектора вращение наблюдается про­исходящим против часовой стрелки. Направление вектора углового перемещения может быть найдено по правилу правого буравчика (рис. 1). Угловое перемещение измеряется в радианах.

2. Угловая скорость - физическая величина, показывающая угловое перемещение, совершаемое за единицу времени: .

Вектор угловой скорости совпадает по направлению с вектором углового перемещения.

3. Угловое ускорение - физическая величина, показывающая изменение угловой скорости за единицу времени:

.

Вектор углового ускорения совпадает по направлению с вектором изменения угловой скорости. При ускоренном вращении векторы угловой скорости и углового ускорения направлены в одну сторону, при замедленном – в противоположные.

Угловые кинематические величины связаны с линейными следующими векторными произведениями:

, , ,

где dr – элемент дуги окружности, описываемой точкой, r – радиус этой окружности, u - линейная скорость точки, а _t - тангенциальное ускорение точки.

Векторы взаимно перпендикулярны. Угловое ускорение по модулю может быть найдено, если известно тангенциальное ускорение какой-либо точки тела и ее расстояние от оси вращения:

. (1)

Если тело вращается вокруг неподвижной оси, то все кинематические и динамические векторные соотношения записываются в проекции на ось вращения, то есть в скалярном виде.

Причиной возникновения углового ускорения является воздействие на тело момента силы относительно оси вращения. Моментом силы называется физическая величина, равная векторному произведению радиус-вектора на силу:

.

В скалярном виде момент силы относительно оси вращения равен произведению силы на плечо:

M = F× l, (2)

где l - плечо - кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы.

Основной закон динамики для вращающихся тел: угловое ускорение тела прямо пропорционально моменту силы, действующей на тело, и обратно пропорционально моменту инерции тела:

. (3)

Момент инерции тела является мерой инертности вращающегося тела и зависит от массы тела и ее распределения относительно оси вращения:

, (4)

где - масса небольшого элемента тела, - расстояние от этого элемента до оси вращения.

Момент инерции можно изменить, изменив массу тела или передвинув какие-либо части тела на другое расстояние от оси вращения.

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ УСТАНОВКА. Для проверки зависимости углового ускорения от момента силы и момента инерции используется экспериментальная установка, в которой изучается вращение диска-платформы относительно вертикальной оси (рис.2). Момент инерции диска-платформы изменяется путем наложения на платформу дополнительных стальных дисков.

Установка собрана на вертикальном щите, укрепленном на стене. Кроме вращающегося тела на щите установлен электронный хронометр С, шкала высоты Н, кнопка пуска К и нижняя педаль П, являющаяся началом отсчета высоты.

Тело приводится во вращение нитью, намотанной на шкив радиуса r. К другому концу нити привязан груз массы , к которому с помощью резьбы прикрепляются дополнительные грузики. Диск снабжен электромагнитным тормозом Т, включение которого производится рукояткой Р.

Опыт проводится в следующем порядке: Нить наматывается на шкив виток к витку. Груз m устанавливается на определенной высо­те h над нижней педалью П. Установка фиксируется в этом по­ложении тормозом Т. Хронометр устанавливается на нуль кнопкой сброса, расположенной на его кор­пусе. Кнопкой пуска выключается тормоз и одновременно с этим включается хронометр. Платформа ускоренно вращается, груз равноускоренно опускается. Хро­нометр выключается в тот момент, когда груз достигает педали П. Ускорение груза, опус­кающегося с высоты в течение времени t, находится поформуле: . (5)

Тангенциальное ускорение точек, расположенных на поверхности шкива, равно ускорению груза . Поэтому, в соответствии с формулой (1), угловое ускорение вращающегося тела вычисляется по формуле:

. (6)

Угловое ускорение вращающегося тела в данном случае сообщается результирующим действием момента силы натяжения нити и момента сил трения в подшипниках М_тр:

,

где , (7)

т.к. плечо силы натяжения равно радиусу шкива .

Проводится серия опытов при различных значениях массы груза m и различных значениях момента инерции платформы с дополнительными дисками. В каждом случае вычисляется момент силы по формуле (7) и угловое ускорение по формуле (6). По результатам опытов строится график зависимости углового ускорения e от вращающего момента М (рис. 3). Точка пересечения прямой (а) с осью моментов определяет значение момента сил трения в подшипниках установки.

Зависимость углового ускорения от вращающего момента, которая должна получиться в отсутствии трения, выражается прямой (б) (рис.3). Параллельная экспериментальному графику (а) прямая (б) проходит через начало координат. Значение момента инерции установки вычисляется как котангенс угла наклона графика к оси моментов. Для этого на графике (б) выбирается какая-либо точка с координатами M ₁и e ₁. Момент инерции вычисляется как отношение:

. (8)

Для исследования зависимости углового ускорения от момента инерции проводятся несколько опытов при различных количествах дополнительных дисков.

По результатам каждой серии строится график зависимости от М и параллельным переносом в начало координат строится идеализированный график зависимости от М, исключающий действие трения в подшипниках установки. В результате получается нес­колько графиков зависимости от , каждому из которых соответствует свое определенное значение момента инерции I. По этим графикам (рис. 4) определяются значения момента инерции платформы без дополнительных дисков и

момента инерции платформы с различным числом дополнительных дисков при постоянном вращающем моменте М.