Три координаты точки однозначно определяют ее положение в пространстве

Взаимно перпендикулярные плоскости, изображенные на рис. 6, дают нам пространственный чертеж. Для получения всех трех проекций точки в одной плоскости чертежа все три плоскости проекций p₁, p₂ и p₃ условно совмещают с плоскостью чертежа. Это совмещение выполняется следующим образом.

Фронтальная плоскость проекций p₂ принимается за плоскость чертежа, горизонтальная плоскость проекций p₁ совмещается с плоскостью чертежа вращением вокруг оси x, а профильная плоскость проекций p₃ - вращением вокруг оси z. Направление вращения на рис. 6, а показано стрелками.

При совмещении плоскости p₁ с плоскостью чертежа положительное направление оси y совмещается с отрицательным направлением оси z, а отрицательное направление – с положительным направлением оси z. На чертеже изображение этой оси y принято обозначать y _p1(рис. 6, б).

При совмещении плоскости p₃ с плоскостью чертежа положительное направление оси y совмещается с отрицательным направлением оси x, а отрицательное направление – с положительным направлением оси x. На чертеже изображение этой оси y принято обозначать y _p3.

В результате образуется ортогональный чертеж или эпюр (от франц. epure - чертеж, проект).На эпюре изображаются только проекции геометрических объектов, а не сами объекты.

Любые две проекции точки, изображенные на эпюре, связаны между собой линией проекционной связи, перпендикулярной оси проекций (на чертеже она обозначается штриховой линией):

- горизонтальная и фронтальная проекции (точки А ¢ и А ²) расположены на линии проекционной связи, перпендикулярной оси x;

- фронтальная и профильная проекции (точки А ² и А ¢¢¢) - на линии проекционной связи, перпендикулярной оси z;

- горизонтальная и профильная проекции (точки А ¢ и А ¢¢¢) - на линии проекционной связи, перпендикулярной оси y.

Вследствие того, что отрезки ОА_{y p1}и OА_{y p3}являются изображением одной и той же координаты y_A, точки А_{y p1}и А_{y p3}связывают дугой окружности с центром в начале координат.

Каждая проекция точки А определяется двумя координатами:

- горизонтальная проекция А ¢(x_A; y_A);

- фронтальная проекция А ² (x_A; z_A);

- профильная проекция А ¢¢¢ (y_A; z_A).

Положение точки А может быть задано как графически, так и аналитически. Пример графического изображения точки А рассмотрен нами на рис. 6. Аналитическая форма задания точки представляет собой числовое выражение трех координат точки А, измеряемое в выбранных единицах длины (например, запись А (3;2;3) означает, что x_A =3, y_A =2, z_A =3).

От аналитической формы задания точки легко перейти к графическому изображению этой точки на ортогональном чертеже.

Пример 1. Построить проекции точки

В (-2;-3;1).

1. Выбираем единичный отрезок (рис.7).

2. С учетом знака откладываем на осях проекций координатные отрезки

x_В = | ОВ_х | = -2;

y_В = | ОВ_yp1 | = | ОВ_{y p3}| = -3;

z_В = | ОВ_z | = 1.

3. Отмечаем точки В_x, В_{y p1}, В_{y p3}, В_z.

4. Из построенных точек В_x, В_yp1, В_yp3, В_z проводим линии проекционной связи, перпендикулярные осям проекций, и на их пересечениях отмечаем проекции точки В:

В ¢ = (В_xВ ¢ ^ x) Ç (В_{y p1} В ¢ ^ y _p1);

В ¢¢ = (В_xВ ¢¢ ^ x) Ç (В_zВ ¢¢ ^ z);

В ¢¢¢ = (В_{y p3} В ¢¢¢ ^ y _p3) Ç (В_zВ ¢¢¢ ^ z).

Две проекции точки, построенные на эпюре, однозначно определяют ее положение в пространстве. По двум проекциям заданной точки можно построить третью, и притом только одну.