Функции, их классификация

Одним из основных понятий математического анализа является функция.

Зачатки определения функции имелись у П. Ферма и Б. Паскаля. Впервые слово функция употребил Лейбниц в 1692 г.

Определение функции, наиболее близкое к современному, дал И. Бернулли в 1718 г.

До недавнего времени наиболее распространенным было следующее определение функции.

Переменная величина y называется функцией переменной величины x,если каждому значению х соответствует единственное определенное значение y. Записывается .

В настоящее время обычно употребляют определение функции, основанное на теории множеств.

Переменная величина y называется функцией переменной величины x с областью определения D и множеством значений E, если для любого значения х, принадлежащего множеству D (" x Î D)существует единственное значение y, принадлежащее множеству Е (y Î E) (рис. 3), т. е.

Рис. 3

Например, найти область определения и множество значений функции . Получаем , .

Если между множествами D и E можно установить взаимно однозначное соответствие, то существует обратная функция или .

Если аргумент функции является в свою очередь функцией переменной величины х , то называется сложной функцией.

Здесь функции и называются составляющими функциями.

Например, сложная функция, ее составляющие функции и .

Основными элементарными функциями являются следующие:

1) - степенная функция;

2) - показательная функция;

3) - логарифмическая функция;

4) - тригонометрические функции;

5) - обратные тригонометрические функции.

Функция называется элементарной, если она образована из основных элементарных с помощью конечного числа алгебраических действий: сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в рациональную степень.

Например, .

Функция называется алгебраической, если она образована из независимой переменной x с помощью конечного числа алгебраических действий: сложения, вычитания, умножения, деления, возведение в степень с рациональным показателем.

Функция называется трансцендентной, если она не является алгебраической.

Алгебраическая функция называется иррациональной, если она содержит операцию извлечение корня.

Функция называется рациональной, если она является алгебраической и не содержит корней независимой переменной.

Простейшей рациональной функцией является многочлен вида