Предел последовательности

Окрестностью точки называется любой интервал, содержащий эту точку.

d-окрестностью точки называется интервал длиной 2d с центром в этой точке.

В математическом анализе обычно рассматривается d-окрестность точки , которая не содержит точку (рис. 4).

Кратко записывается

или .

Рис. 4

Пусть в некоторой области D имеется предельная точка .

Точка называется предельной, если любая, сколь угодно малая, ее окрестность содержит бесконечное множество точек этого множества. Из любого бесконечного множества точек можно выбрать бесконечное счетное множество, т.е. последовательность . Пусть эта последовательность такая, что с увеличением номера n члены последовательности неограниченно приближаются к , но никогда не достигают его. Так что расстояние от точки х до точки становится сколь угодно мало, но никогда не становится равным нулю. В этом случае говорят, что члены последовательности стремятся к . Стремятся к – значит неограниченно приближаются, но не достигают (рис. 5).

Рис. 5

Определение предела последовательности. Число b называется пределом последовательности (), если для любого, сколь угодно малого, положительного d существует такое положительное число N, что если номер члена последовательности n > N, то принадлежит d-окрестности числа b ( Î ).

Кратко с помощью кванторов можно записать

.

Например, доказать, что . Запишем последнее соотношение из определения предела и преобразуем его, учитывая, что , а b = 0. Получим . Отсюда следует, что для того, чтобы член последовательности отличался от предела b = 0 меньше, чем на d = 0,001, его номер n должен быть больше (n > 1000). При d = 0,0001 N (d) равняется и т. д. Таким образом, для любого d можно выбрать N (d) такое, что , если только n > N (d). Следовательно, предел этой последовательности равен нулю.

Теорема Больцано-Коши (без доказательства). Для того, чтобы последовательность имела предел, необходимо и достаточно, чтобы для любого d > 0 существовало N (d)> 0 такое, что если n > N, m > N, то .

Теорема Вейерштрасса (без доказательства). Если последовательность монотонно возрастает (убывает) и ограничена сверху (снизу), то она имеет предел.

Последовательность называется монотонно возрастающей (убывающей), если для любого n Î N ().