Собственные векторы и собственные значения

Вектор x называется собственным вектором линейного оператора (или матрицы A), если найдётся такое число , что

(х)= (х) или Ах= х

Число называется собственным (характеристическим ) значением (числом ) оператора (или матрицы А), соответствующим вектору х. Определение (7) может быть записано в виде:

х=0

Характеристическим уравнением оператора (или матрицы А) называется уравнение:

где определитель называется характеристическим многочленом оператора (или матрицы А). Характеристический многочлен линейного оператора не зависит от выбора базиса.

Матрица оператора в базисе, состоящем из его собственных векторов с собственными значениями является диагональной:

И обратно, если матрица А линейного оператора в некотором базисе является диагональной (10), то все векторы этого базиса – собственные векторы оператора с собственными значениями