Метод замены переменной

Интеграл можно упростить, введя вместо новую переменную , положив

(3)

Предложение 3. Для преобразования неопределенного интеграла к новой переменной по формуле (5.3) достаточно преобразовать его подынтегральное выражение:

(4)

Доказательство. Возьмем дифференциалы левой и правой части формулы (5.4), а также воспользуемся свойством 2 неопределенных интегралов и подстановкой (5.3), получим следующее:

.

Так как правые части равны, то и левые части тождественны. Отсюда следует справедливость формулы (5.4).

Пример 1.

Пример 2.

Замечание. Новую переменную можно явно не записывать, а ввести постоянные и переменные под знаком дифференциала. Эту операцию называют преобразованием функции под знаком дифференциала.

Пример 3.

Предложение 4. Пусть некоторая первообразная для функции . Тогда справедливо

(5)

где - постоянные,

Доказательство. Интеграл можно записать в следующем в виде

Тогда по определению неопределенного интеграла имеем

Но из определения дифференциала имеем . Тогда вынося постоянную за знак интеграла и деля правую и левую часть равенства на , получим формулу (5).