2015-02-27
15068
1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции.
Доказательство. Непосредственно по определению неопределенного интеграла следует, что
2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению.
.
Доказательство. Из свойства 1 и по определению неопределенного интеграла и дифференциала, имеем
3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного множителя.
.
Доказательство. На основании свойства 2 и определения неопределенного интеграла, имеем
Следующие два свойства называются линейными свойствами неопределенного интеграла.
4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.
.
Доказательство. Введем новую функцию
.
Возьмем производную этой функции и применяя свойство 1, получим
- 
.
Из теоремы Лагранжа найдется такое число С,что 
. Отсюда следует
Здесь можно опустить постоянную С, так как неопределенный интеграл определяется с точностью до постоянного слагаемого.
|
|
|
5. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен сумме интегралов от этих функций
Доказательство аналогично свойству 4.
Таблица основных интегралов
Интегралы от элементарных функций называют табличными. Справедливость формул легко проверить дифференцированием.
1 
.
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
Пример. Докажем формулу 
.
Пусть 
Производная правой части будет равна подынтегральной функции левой части.
Действительно, 
. Для 
справедливо
.
Аналогично доказываются остальные формулы таблицы.
4. Метод непосредственного интегрирования .
Вычисление интегралов с использованием основных правил интегрирования и таблицы неопределенных интегралов называется непосредственным интегрированием.
Пример 1. Найти 
.
Пример 2. Найти 
=
