. | (2.9а) |
Иными словами: изображение производной функции равно изображению функции, умноженному на s. Для получения изображения второй производной надо изображение функции умножить на , а третьей на . Тогда вместо выражения (2.2) получим:
(2.10) |
Здесь:
– изображение выходной величины,
– изображение управляющего воздействия,
– изображение возмущающего воздействия.
Введем обозначения:
, | (2.11) |
, | (2.12) |
. | (2.13) |
Тогда после подстановки (2.11), (2.12) и (2.13) в (2.10) получим:
. | (2.14) |
Разделив (2.14) на P(S), получим:
. | (2.15) |
При отсутствии возмущающего воздействия
. | (2.16) |
Отсюда
. | (2.17) |
Отношение изображения управляемой величины к изображению управляющего воздействия при нулевых начальных условиях и отсутствии возмущения называется передаточной функцией по каналу управляющего воздействия.
При отсутствии управляющего воздействия
, | (2.18) |
откуда
(2.19) |
Отношение изображения управляемой величины к изображению возмущающего воздействия при нулевых начальных условиях и отсутствии управляющего воздействия называется передаточной функцией по каналу возмущающего воздействия.
|
|
В общем случае
. | (2.20) |
При наличии нескольких входных и возмущающих воздействий
. | (2.21) |
Иными словами, в линейных системах соблюдается принцип суперпозиции, в соответствии с которым выходная величина от нескольких входных воздействий равна сумме выходных величин, полученных от каждого воздействия в отдельности.
Хотелось бы отметить, что термин «передаточная функция» играет фундаментальную роль в теории автоматического управления. Передаточная функция однозначно определяет динамические свойства как системы управления, так и отдельных ее элементов. Зная эту функцию, можно предсказать поведение как отдельных элементов, так и системы в целом.
Каждый элемент, каждое устройство, каждая электрическая схема имеют свою передаточную функцию.
Для электриков особый интерес представляет определение передаточной функции схем, включающих активные, индуктивные и емкостные сопротивления.
Пример 1. Определить передаточную функцию схемы, представленной на рис 2.2.
Рисунок 2.2
С – емкость, L – индуктивность, R – активное сопротивление,
Uвх – напряжение на входе, Uвых – выходное напряжение
По определению
. |
Известно, что изображение активного сопротивления R, емкостного , индуктивного .
Тогда , .
Подставляя значения Uвых(S) и Uвх(S) в исходную формулу, получим:
.
Введем обозначения:
К1 = 1; Т1 = RC; T2 = ; К2 = RC.
Получим:
.
Данная система состоит из последовательно соединенных колебательного звена (или инерционного звена второго порядка при условии, что Т1 2Т2) и дифференцирующего звена.
|
|
Пример 2. Определить передаточную функцию электрической схемы, представленной на рис. 2.3.
Рисунок 2.3
R1, R2, R3 – активные сопротивления; L – индуктивность,
C1 – емкость, Uвх – напряжение на входе схемы,
Uвых – напряжение на выходе
Данный пример отличается от примера 1 следующими особенностями:
а) ток входа и ток выхода не равны;
б) ток входа равен сумме двух токов:
;
в) когда имеется несколько параллельных ветвей, то необходимо складывать проводимости и определять общее сопротивление как величину, обратную этой проводимости.
Так, в данном примере общее сопротивление двух ветвей равно:
где ;
.
Т.к. ,
то .
Следовательно, ,
Найдем передаточную функцию, подставив в исходную формулу значения Uвх(S) и Uвых(S):
Введем обозначения:
; ;
; ; .
Получим:
.
Данная система состоит (рис. 2.4) из последовательно соединенных колебательного звена (или инерционного звена второго порядка при условии, что Т1 2Т2) и форсирующего звена (т.е. параллельно соединенных дифференцирующего и безынерционного звеньев).
Рисунок 2.4
Домашнее задание № 1 выполняется по вариантам, представленным ниже. Выбор вариантов производится по следующему правилу:
1. Выписывается номерзачетной книжки. Пусть этот номер 99731.
2. Из этого номера оставляют две последние цифры. В нашем примере 31.
3. Если предпоследняя цифра четная, она заменяется цифрой два, если нечетная – единицей, ноль остается нулем. В нашем примере выбирается вариант 11 из таблицы 2.1 «Варианты домашних заданий». Если обе последние цифры нули, то выбирается вариант 30.
Таблица 2.1 – Обратные преобразования Лапласа
№ п/п | Изображение | Оригинал |
d(t) | ||
t | ||
1 – , где a = | ||
1 + (at – 1) , где a = | ||
– 1 + (at + 1) , где a = | ||
(– 1 + ) + t, где a = |