Во многих случаях возникает необходимость ввести ещё одну числовую характеристику для измерения степени рассеивания, разброса значений, принимаемых случайной величиной ξ, вокруг её математического ожидания.
Определение. Дисперсией случайной величины ξ называется число.
D ξ = M(ξ-M ξ) 2. (1)
Другими словами, дисперсия есть математическое ожидание квадрата отклонения значений случайной величины от её среднего значения.
Число
(2)
называется средним квадратичным отклонением
величины ξ.
Если дисперсия характеризует средний размер квадрата отклонения ξ oт Mξ, то число можно рассматривать как некоторую среднюю характеристику самого отклонения, точнее, величины | ξ-Mξ |.
Из определения (1) вытекают следующие два свойства дисперсии.
1. Дисперсия постоянной величины равна нулю. Это вполне соответствует наглядному смыслу дисперсии, как «меры разброса».
Действительно, если
ξ = С, то Mξ = C и, значит Dξ = M(C-C)2 = M 0 = 0.
2. При умножении случайной величины ξ на постоянное число С её дисперсия умножается на C2
|
|
D(Cξ) = C 2 Dξ. (3)
Действительно
D(Cξ) = M(C
= M(C .
3. Имеет место, следующая формула для вычисления дисперсии:
. (4)
Доказательство этой формулы следует из свойств математического ожидания.
Мы имеем:
4. Если величины ξ 1 и ξ 2 независимы, то дисперсия их суммы равна сумме их дисперсий:
. (5)
Доказательство. Для доказательства используем свойства математического ожидания. Пусть Mξ 1 = m 1, Mξ 2 = m 2, тогда.
Формула (5) доказана.
Так как дисперсия случайной величины есть по определению математическое ожидание величины (ξ –m)2, где m = Mξ, то для вычисления дисперсии можно воспользоваться формулами, полученными в §7 гл.II.
Так, если ξ есть ДСВ с законом распределения
x 1 | x 2 | ... |
p 1 | p 2 | ... |
то будем иметь:
. (7)
Если ξ непрерывна случайная величина с плотностью распределения p(x), тогда получим:
Dξ = . (8)
Если использовать формулу (4) для вычисления дисперсии, то можно получить другие формулы, а именно:
, (9)
если величина ξ дискретна, и
Dξ = , (10)
если ξ распределена с плотностью p (x).
Пример 1. Пусть величина ξ равномерно распределена на отрезке [ a,b ]. Воспользовавшись формулой (10) получим:
Можно показать, что дисперсия случайной величины , распределенной по нормальному закону с плотностью
p(x) = , (11)
равна σ2.
Тем самым выясняется смысл параметра σ, входящего в выражение плотности (11) для нормального закона; σ ecть среднее квадратичное отклонение величины ξ.
Пример 2. Найти дисперсию случайной величины ξ, распределенной по биномиальному закону.
Решение. Воспользовавшись представлением ξ в виде
ξ = ξ 1 + ξ 2 + ξn (см. пример 2 §7 гл. II) и применяя формулу сложения дисперсий для независимых величин, получим
|
|
Dξ = Dξ 1 + Dξ 2 + Dξn.
Дисперсия любой из величин ξi (i = 1,2, n) подсчитывается непосредственно:
Dξi = M(ξi)2 - (Mξi)2 = 02 · q + 12 p - p 2 = p (1- p) = pq.
Окончательно получаем
Dξ = npq, где q = 1 – p.