Ориентация тела задается тензором поворота переводящим жестко связанную с телом тройку векторов из отсчетного положения в актуальное (рис. 4.6,а).
Раскладывая по отсчетному базису, получим:
, где называются, напомним, направляющими косинусами.
Теорема Эйлера. Произвольная ориентация твердого тела получается из отсчетной одним поворотом на угол вокруг оси поворота.
В математическом виде теорема сводится к следующей:
Теорема о представлении тензора поворота. Тензор поворота , не равный , единственным образом можно представить в виде
, (4.11)
где – угол поворота, а единичный вектор задает прямую в пространстве, называемую осью поворота; положительное направление отсчета угла поворота согласовано с направлением в соответствии с принятой ориентацией пространства, т. е. в правоориентированном пространстве положительный поворот с конца виден против часовой стрелки.
Доказательство. Покажем, что существует единственный неподвижный вектор , т. е. уравнение имеет единственное решение. Перепишем его в виде однородного уравнения , которое имеет решение, только если определитель равен нулю, что и следует из цепочки:
|
|
Предположим, что существуют два решения и . Из тождества (1.14) получим: ;это означает, что вектор также является неподвижным вектором.
Последнее что невозможно, так как .
Примем а в качестве и возьмем любые перпендикулярные к и между собой единичные векторы. Поскольку тензор поворота не изменяет углов между векторами, то векторы и , перпендикулярные к неподвижному вектору , лежат в плоскости и (рис. 4.6,б):
.
Рис. 4.6.Ориентация твердого тела |
а) |
б) |
Подставляя эти выражения в тензор и заменяя диады, содержащие независящими от их выбора выражениями:
, придем к (4.11).
Можно доказать [3], что тензор поворота аналитически выражается через произведение , называемым вектором поворота, поэтому в дальнейшем тензор поворота будем в необходимых случаях обозначать .
Представление (4.11) позволяет доказать весьма важную теорему:
Теорема 4.1. Если неподвижный вектор тензора ), определяющий ось поворота, сам получен поворотом , то
. (4.12)
Иными словами: «тензор поворота с повернутой осью равен повернутому тензору»
Доказательство. Подставляя в (4.11) , получим:
, , и, полагая в тождестве (1.16) ,
. Таким образом,