Главные оси и главные моменты инерции

Начнем с определения: Если для тензора второго ранга существует вектор такой, что , то число называется главным (собственным) значением тензора, собственным вектором, а ось, задаваемая главной осью тензора.

Теорема о приведении тензора инерции к главным осям. Тензор инерции, как и любой симметричный тензор, имеет тройку ортогональных собственных векторов и тройку вещественных собственных значений (главных моментов) , причем:

1) если собственные значения различны, то собственные векторы определяются единственным образом и тензор инерции имеет вид:

;

2) если два собственных значения равны, например, , то однозначно определяется собственный вектор , а любые перпендикулярные к (и друг к другу); в этом случае

;

такой тензор называется трансверсально–изотропным: он не изменяется при вращении тела вокруг оси изотропии, задаваемой ;

3) Если равны все собственные значения , то любая ортонормированная тройка и тензор инерции называется шаровым:

.

Эта теорема доказывается в курсе линейной алгебры как теорема о собственных числах (значениях) и собственных векторах симметричной матрицы.

Применительно к тензору инерции ее содержание сводится к тому, что существует, по меньшей мере, одна тройка главных осей, т. е. осей, относительно которых центробежные моменты инерции равны нулю, и тензор инерции в этих осях имеет вид: .

Поскольку ориентация тройки осей задается тремя параметрами (например, углами Эйлера), то возможность сделать равными нулю три центробежных момента существует.

В некоторых случаях, когда тело обладает каким-либо видом симметрии, то согласно физическому принципу Кюри–Неймана этой же симметрией должен обладать и тензор инерции; тогда главные оси могут быть найдены из соображений симметрии. Так, например, если тело обладает плоскостью симметрии Bxz, то перпендикулярная ей ось y является главной (рис. 5.8,а). Действительно, центробежные моменты и равны нулю, поскольку каждому элементу с координатами соответствует симметричный с координатами . Если имеется еще одна плоскость симметрии , перпендикулярная первой, то ось (а, следовательно, и ) тоже главная: ,так что тензор инерции для любой точки В, находящейся на линии пересечения этих плоскостей, имеет вид:

.

Если тело осесимметричное (рис. 5.8,б), то любая плоскость, содержащая ось , является плоскостью симметрии и, в дополнение ко всему изложенному ясно, что ; так что тензор инерции трансверсально–изотропный:

.

Если тело обладает осью симметрии «» – го порядка, т. е. тело переходит «само в в себя» при повороте на угол (на рис. 5.8,в =5), то и в этом случае тензор инерции трансверсально–изотропный.