Качение шара по вращающейся плоскости

Рис. 5.13. Качение по платформе

• C

B

По вращающейся с угловой скоростью платформе катится шарик массы и радиуса (рис. 5.13). Уравнения динамики (5.34) с учетом того, что тензор инерции – шаровой , принимают вид:

где горизонтальная составляющая реакции платформы.

Добавим к (1),(2) условие отсутствия проскальзывания в точке касания В:

(3)

Исключим из уравнений все неизвестные, оставив только .Подставим из первого уравнения во второе, умножим его векторно справа на и, раскрывая двойное векторное произведение, получим:

.

Подставив в это уравнение найденное из (3) выражение

, получим , или, обозначив : .

Подобное уравнение уже встречалось в (5.1.2), и решение его проще всего записать с помощью тензора поворота (напомним, ):

Таким образом, постоянный по величине вектор скорости «вращается» с постоянной угловой скоростью вокруг ; нетрудно понять, что это возможно, только если центр масс движется по окружности, радиус которой можно найти, проинтегрировав и подставив начальные условия:

.

Таким образом, центр масс шарика движется по окружности радиуса с центром в точке .