Свободные колебания с учетом сопротивления

5 6 7 8 9 10 11

Дифференциальное уравнение (7.1)имеет вид:

(7.7)

По методу Эйлера решение будем искать в виде Подставляя его в (7.7), получим характеристическое уравнение:

откуда определяются собственные числа

Общее решение имеет вид:

, (7.7а)

а)

Рис. 7.4. Затухающие колебания

б)

где

определяются из начальных условий. Рассмотрим три возможных случая.

а) Большое сопротивление: В этом случае собственные числа и вещественные, и решение (7.7а) тоже вещественное; его для удобства часто записывают в виде:

, (7.7б)

где гиперболические функции, удобные для определения постоянных из начальных условий, поскольку

Подставим начальные условия:

,и

(7.7в)

Эскизы графиков движения в зависимости от начальных условий могут иметь вид, представленный на (рис. 7.4,а). Эти движения принято называть апериодическими (непериодическими) колебаниями, хотя они и не имеют колебательного характера.

б) Предельно–апериодическое движение: В этом случае собственные числа кратные и, как известно из математики, частные решения имеют вид и , так что общее решение . Впрочем, это решение, как и в случае резонанса (см. раздел 7.1.2), получается предельным переходом при из общего решения (7.7в). Замечая, что для малых , получим:

Характер движения вполне описывается эскизами (см.рис. 7.4,а).

в) Малое сопротивление: (затухающие периодические колебания). Собственные числа комплексные и формально записанное решение тоже комплексное. С помощью формулы Эйлера оно принимает вид:

Разумеется, если найти постоянные из вещественных начальных условий, мнимая часть решения «исчезнет» (станет равной нулю):

Таким образом,

. (7.7г)

Обычно это вещественное решение сразу записывают в виде суммы вещественной и мнимой частей, умноженных на константы, определяемые из начальных условий: .

Действительно, если комплексная функция является решением линейного уравнения с вещественными коэффициентами, то решениями являются ее вещественная и мнимая части.

Решение может быть записано в виде одной гармоники (рис. 7.4,б):