Вынужденные колебания без сопротивления при произвольном воздействии. Интеграл Дюамеля

Дифференциальное уравнение имеет вид:

(7.4)

Частное решение можно найти методом вариации произвольных постоянных: решение ищется в виде решения однородного уравнения, в котором коэффициенты являются неизвестными функциями времени:

. (7.4a)

Дифференцируя это выражение, получим:

Подчеркнутые слагаемые приравниваются нулю; это можно сделать, так как искомое частное решение представлено через две функции .

Дифференцируя еще раз и подставляя результат в уравнение (7.4), получим:

откуда находим

Функции можно записать в виде

Подставляя в (7.4а) и внося в подинтегральное выражение, получим:

. (7.5)

Интеграл (7.5) называется интегралом Дюамеля; его смысл выходит за рамки рассмотренной задачи. В интеграле (7.5) – координата тела в актуальный момент времени при действии в момент единичного импульса, т.е. импульса, сообщающего системе единичную скорость. Действительно, решение уравнения при начальных условиях имеет вид: . Поэтому (7.5) представляет собой суперпозицию движений линейной системы под действием элементарных импульсов силы .