Дифференциальное уравнение имеет вид:
(7.4)
Частное решение можно найти методом вариации произвольных постоянных: решение ищется в виде решения однородного уравнения, в котором коэффициенты являются неизвестными функциями времени:
. (7.4a)
Дифференцируя это выражение, получим:
.
Подчеркнутые слагаемые приравниваются нулю; это можно сделать, так как искомое частное решение представлено через две функции .
Дифференцируя еще раз и подставляя результат в уравнение (7.4), получим:
откуда находим
Функции можно записать в виде
.
Подставляя в (7.4а) и внося в подинтегральное выражение, получим:
. (7.5)
Интеграл (7.5) называется интегралом Дюамеля; его смысл выходит за рамки рассмотренной задачи. В интеграле (7.5) – координата тела в актуальный момент времени при действии в момент единичного импульса, т.е. импульса, сообщающего системе единичную скорость. Действительно, решение уравнения при начальных условиях имеет вид: . Поэтому (7.5) представляет собой суперпозицию движений линейной системы под действием элементарных импульсов силы .
В любой линейной задаче движение при произвольном воздействии и нулевых начальных условиях может быть найдено в виде
, (7.6)
где – реакция системы на единичный импульс.