Общее решение задачи о свободных колебаниях

Общее решение строится как сумма главных колебаний с произвольными фазами, умноженных на произвольные постоянные:

,

или .

В общем решении произвольных постоянных , которые можно найти из начальных условий :

Обозначим и перепишем систему в виде

Определитель каждой из подсистем не равен нулю, поскольку его столбцы – линейно независимые формы колебаний. Постоянные выражаются через :

Рис. 7.7. Свободные колебания

Рассмотрим, например, колебания вертикального стержня длиной и массой , к концу которого на тросе длиной подвешен груз массы .(рис. 7.7). Устойчивость вертикального положения равновесия обеспечивается спиральной пружиной жесткостью .

Раскладывая потенциальную энергию в ряд до второй степени включительно, получим:

,

где . Обобщенные силы:

Кинетическая энергия, как уже отмечалось, записывается в момент прохождения системой положения равновесия:

,

где

Уравнения Лагранжа имеют вид:

Решение этой системы будем искать в виде :

Приравнивая определитель нулю, получим частотное уравнение:

.

Пусть .

Тогда

Частотное уравнение примет вид:

.

Отношение амплитуд найдем из первого, например, уравнения системы:

. Для первой собственной частоты , для второй и общее решение имеет вид:

.