Собственные частоты и формы малых колебаний

Руководствуясь тем, что ожидаемое движение имеет колебательный характер, частное решение системы (7.12) (или (7.13)) будем искать в виде:

, (7.14)

где вектор называется амплитудным вектором.

Подставляя (7.14) в систему (7.13), получим , откуда

(7.15)

Чтобы однородная система (7.15) имела ненулевое решение , необходимо, чтобы определитель этой системы был равен нулю: . Раскрывая определитель по степеням получим так называемое частотное уравнение - ой степени относительно :

(7.16)

где, в частности, коэффициенты .

Стандартным в линейной алгебре способом, опирающимся на симметрию матриц , можно показать, что все корни частотного уравнения вещественны, и, более того, если матрица жесткости положительно определена (т. е. положение равновесия устойчивое), то корни положительные. В этом случае корней (c учетом их кратности) называются собственными частотами.

Ортогональность и линейная независимость форм колебаний. Подставив простую, т. е. кратности «один», собственную частоту в систему (7.15), получим уравнений для элементов амплитудного вектора , поскольку при равенстве нулю определителя одно уравнение является линейной комбинацией остальных; поэтому из системы можно найти только отношения амплитуд к первой, например, амплитуде:

. (7.17)

Амплитудный вектор (7.17), элементами которого являются отношения амплитуд, называется собственной формой колебаний. Колебания, описываемые выражением (7.14) при подстановке в него собственных частот и форм , называются главными колебаниями.

Покажем, что собственные формы колебаний, соответствующие различным частотам, ортогональны «с весом» матрицы инерции . Выпишем систему (7.15) для двух частот и

(7.18)

Первую из систем (7.18) умножим слева на , а вторую на и вычтем:

Учитывая симметричность , получим: откуда получаем ортогональность собственных форм «с весом » или «в метрике А»: .

Заметим, что из ортогональности с весом из (7.18) следует и ортогональность с весом : .

При частоте второй (для определенности) кратности равен нулю не только определитель системы (7.15), но и миноры порядка , т. е. имеется уравнения для элементов амплитудного вектора, поэтому он имеет вид: , где – произвольное число. Это обстоятельство позволяет для частоты второй кратности построить две собственные формы и с числами и и найти из условия ортогональности: .

Из ортогональности форм следует их линейная независимость, т. е. равенство возможно тогда и только тогда, когда все . Действительно, умножив эту сумму на матрицу слева и потом на , получим с учетом ортогональности только одно слагаемое: