П.5. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница

Знакочередующиеся ряды представляют собой частный случай знакопеременных рядов, когда знаки членов «плюс» и «минус» поочередно меняются. Если считать все числа положительными, то знакочередующийся ряд в общем виде можно записать таким образом:

, (11)

Признак сходимости знакочередующегося ряда (признак Лейбница). Знакочередующийся ряд сходится, если абсолютные величины его членов монотонно убывают, и общий член ряда по модулю стремится к нулю.

Таким образом, для сходимости знакочередующегося ряда (11) достаточно выполнения двух условий:

1) ;

2) .

Следствия из теоремы Лейбница:

1) сумма сходящегося знакочередующегося ряда, записанного в форме (11), положительна и меньше его первого члена:

; (12)

2) если ряд (11) сходится по признаку Лейбница, то его остаток

по модулю меньше своего первого члена: .