XI. п.3. Вероятности сложных событий

Для вычисления вероятностей сложных событий используются следующие теоремы теории вероятностей.

Теорема сложения вероятностей. Если события и несовместны, то вероятность их суммы равна сумме их вероятностей:

. (1)

Сформулированная теорема справедлива для любого конечного числа слагаемых.

Если же события и совместны, то

. (2)

Из теоремы сложения вероятностей следует, что если и – противоположные события, то

или . (3)

Теорема умножения вероятностей. Если события и независимы (т.е. вероятность одного из событий не зависит от появления или непоявления другого), то вероятность произведения событий равна произведению их вероятностей:

. (4)

Сформулированная теорема также справедлива для любого конечного числа сомножителей.

Задача 2. По каналу связи передаются три сообщения. Вероятность того, что первое сообщение будет искажено равна 0,1, второе – 0,2, третье – 0,3. Найти вероятности следующих событий: – все три сообщения переданы без искажения; – ровно одно сообщение передано без искажения; – хотя бы одно сообщение искажено.

Решение.

Введем в рассмотрение вспомогательные события – k-ое сообщение передано без искажений, – k-ое сообщение искажено, . Согласно условию , тогда . Аналогично, и , и .

Так как событие можно представить в виде и события независимы, то вероятность события можно найти по теореме умножения вероятностей для независимых событий:

.

Событие можно представить следующим образом:

,

причем слагаемые , и являются попарно несовместными событиями. Поэтому на основании теоремы сложения вероятностей (1) получаем:

.

Для вычисления вероятностей событий , и используем теорему умножения вероятностей:

;

;

.

Таким образом, окончательно получаем:

.

События и являются противоположными, следовательно,

.

Ответы: , , .