Примеры решения задач. 1.Исследуйте на равномерную сходимость ряд

1. Исследуйте на равномерную сходимость ряд

.

Решение. Найдем мажорантный ряд для данного ряда. Действительно,, а

числовой ряд сходится. Следовательно, ряд сходится равномерно по

признаку Вейрштрасса.

2. Исследуйте на равномерную сходимость ряд на множестве

.

Решение. Обозначим. Последовательность { bk (x)} убывает,

тем самым первое условие теоремы о признаке равномерной сходимости Дирихле-Абеля оказывается выполненным. Воспользуемся оценкой:

при x ≠ 2 pm, m Î Z.

При сколь угодно малом d > 0: " x Î [ d; 2 p − d ] выполняется соотношение

, следовательно, выполнено второе условие теоремы о признаке

равномерной сходимости Дирихле-Абеля, значит, исходный ряд равномерно сходится на [ d; 2 p − d ].

ГЛАВА XIX. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ. § 2