Примеры решения задач. Задача 2.1.Поезд массой т движется равнозамедленно и в течение времени мин

Задача 2.1. Поезд массой т движется равнозамедленно и в течение времени мин. уменьшает свою скорость от км/ч до км/ч. Найти силу торможения.

Решение. Запишем второй закон Ньютона в векторном виде

откуда

или

В проекции на направление движения последнее уравнение можно записать в виде

откуда найдем

Н.

Задача 2.2. Брусок, масса которого , тянут вдоль горизонтальной поверхности с силой , приложенной под углом к горизонту. При этом брусок за время изменил свою скорость от до , двигаясь без отрыва от плоскости. Найти коэффициент трения бруска о поверхность.

Решение. Сделаем чертеж, на котором изобразим силы, действующие на брусок (рис. 2.2). Запишем второй закон Ньютона в векторном виде

Ускорение можно найти из кинематического уравнения

Исключив ускорение, имеем

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси и , учитывая, что и , поскольку движение происходит вдоль оси . Получим систему

Поскольку , имеем

Из последней системы исключаем и окончательно находим

Задача 2.3. На платформе, масса которой равняется кг, лежит груз массой г. Коэффициент трения между платформой и грузом . Платформу тянут с силой Н. Определить ускорения и платформы и груза, если платформа движется по абсолютно гладкой поверхности.

Решение. Поскольку в данной задаче рассматривается одномерное движение, то можно записать второй закон Ньютона для платформы и груза сразу в скалярном виде

Поскольку , груз скользит вдоль поверхности платформы и можно считать, что . Тогда

м/с², м/с².

Задача 2.4. Камень, масса которого , падая с высоты , попадает в снег и погружается в него на глубину . Считая движение в воздухе и в снегу равнопеременным, найти силу сопротивления движению в снегу . Сила сопротивления в воздухе .

Решение. Сделаем схематический чертеж (рис. 2.3) и обозначим на нем силы, действующие на камень. Движение камня будем рассматривать на двух участках: в воздухе и в снегу. Запишем второй закон Ньютона и кинематические уравнения:

в воздухе:

в снегу:

Учитывая, что , , , имеем

в воздухе: (1)

в снегу: (2)

Исключим из уравнений (1) и из уравнений (2), имеем

Отсюда, поделив первое уравнение на второе, после преобразований найдем

Задача 2.5. Канат лежит на столе таким образом, что его часть свисает со стола и начинает скользить лишь тогда, когда длина свисающей части равняется ¼ общей длины каната. Найти коэффициент трения каната о стол.

Решение. Обозначим силу тяжести, действующую на единицу длины каната, как . Тогда сила тяжести свисающей части равняется . Эта сила тяжести уравновешена силой трения , действующей на ту часть каната, которая лежит на столе: и канат начнет двигаться, когда сила тяжести части, которая свешивается, хотя бы немного превысит силу трения. Таким образом, в пределе , откуда .

Задача 2.6. Два груза с массами кг и кг соединены нерастяжимой невесомой нитью, перекинутой через невесомый блок. Найти ускорение , с которым двигаются грузы, и силу натяжения нити . Трением в оси блока пренебречь.

Решение. Воспользуемся тем, что нить нерастяжима. Выберем бесконечно малый элемент нити и запишем уравнение движения в проекции на ось (рис. 2.4):

Поскольку , имеем . Этим результатом можно пользоваться при дальнейшем решении задач: если нить невесома, то сила натяжения нити одинакова во всех ее точках.

Покажем, что ускорение грузов также одинаково. Вследствие того, что нить нерастяжима, грузы проходят за одно и то же время одинаковый путь

, ,

т.е. . Но направления векторов и – противоположны.

Запишем второй закон Ньютона для грузов в проекции на ось ОY:

для первого груза: , (1)

для второго груза: . (2)

Вычитая (2) из (1), после преобразований имеем:

м/с². (3)

Для того, чтобы найти силу натяжения нити, (3) подставим в (1) и после преобразований будем иметь

Н.

2.14. На наклонной плоскости лежит монета, которую удерживает сила трения (рис. 2.12). Как будет двигаться монета, если ей сообщить скорость в направлении, которое параллельно ? Будет ли ее движение прямолинейным?

– Не понимаю, почему монета не двигалась до сообщения скорости – п. 82.

– Что изменяется, когда монета приходит в движение – п. 99.

– Считаю, что монета будет двигаться прямолинейно – п. 110.

2.15. Через неподвижный блок перекинут длинный канат, на концах которого висят два гимнаста одинаковой массы. Гимнасты находятся на одинаковой высоте над землей и сначала неподвижны. Потом первый начинает подниматься со скоростью м/с относительно каната, а второй – со скоростью м/с относительно каната. Кто из них раньше достигнет блока? Канат и блок невесомы, трение в блоке отсутствует.

– Не знаю, с чего начинать – п. 65.

– Записал уравнения, но не могу их проанализировать – п. 146.

2.16. При быстром торможении трамвай, который имеет скорость = 36 км/ч, пришел в движение «юзом». Какое расстояние пройдет вагон с момента начала торможения до полной остановки? Коэффициент трения скольжения колес о рельсы .