2015-02-04
982
1) D (C) = 0, где С - постоянная величина;
2) D (X) > 0, где Х - случайная величина;
3) D (C · X) =C2 · D (X), где С - постоянная величина;
4) D (X+Y) =D (X) +D (Y), где X,Y - независимые случайные величины;
Для вычисления дисперсии часто бывает удобно пользоваться формулой:
D (X) =M (X2) - (M (X)) 2,
Дисперсия D (X) имеет размерность квадрата случайной величины, что не всегда удобно. Поэтому в качестве показателя рассеяния возможных значений случайной величины используют также величину 
.
Определение 7. Средним квадратическим отклонением σ(Х) случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии:
Задача 4.2. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:
| х | -1 | ||||
| р | 0,1 | p 2 | 0,3 | 0,2 | 0,3 |
Найти p 2, функцию распределения F (x) и построить её график, а также M (X) ,D (X), σ(Х).
Решение: Так как сумма вероятностей возможных значений случайной величины Х равна 1, то
Р2 =1- (0,1+0,3+0,2+0,3)=0,1
Найдем функцию распределения F (х) =P (X < x).
Геометрически это равенство можно истолковать так: F (х) есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х.
|
|
|
Если х ≤ -1, то F (х) = 0, так как на промежутке (- ∞; х) нет ни одного значения данной случайной величины;
Если -1< х ≤0, то F (х) = Р (Х = -1) = 0,1, так как в промежуток (-∞; х) попадает только одно значение x 1= -1;
Если 0 < х ≤ 1, то F (х) = Р (Х = -1) + Р (Х = 0) = 0,1 + 0,1 = 0,2, так как в промежуток (-∞; х) попадают два значения x 1 = -1 и x 2 = 0;
Если 1< х ≤2, то F (х) =Р (Х = -1) + Р (Х = 0)+ Р (Х = 1)= 0,1+0,1+0,3=0,5, так как в промежуток (-∞; х) попадают три значения
x 1=-1, x 2=0 и x 3=1;
Если 2 < х ≤ 3, то F (х) = Р (Х = -1) + Р (Х = 0) + Р (Х = 1) + Р (Х = 2) = =0,1+0,1+0,3+0,2=0,7, так как в промежуток (-∞; х) попадают четыре значения x 1 = -1, x 2= 0, x 3= 1 и х 4 = 2;
Если х > 3, то F (х) =Р (Х = -1)+ Р (Х = 0)+ Р (Х = 1)+ Р (Х = 2)+ Р (Х = 3) = =0,1+0,1+0,3+0,2+0,3=1, так как в промежуток (-∞; х) попадают пять значений x 1= -1, x 2= 0, x 3 = 1, х 4 = 2 и х 5 = 3.
Итак,
Изобразим функцию F (x) графически (рис. 4.3):
Рис. 4.3
Найдем числовые характеристики случайной величины:
= 
