Свойства функции плотности распределения вероятностей

1) f (x) ≥0, при .

2) F (x) = .

Геометрически функция распределения равна площади фигуры, ограниченной сверху кривой распределения, снизу осью Ох и лежащей левее точки х (рис. 5.1).

3) P (a X b) = .

Геометрически полученная вероятность равна площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой распределения, снизу осью Ох, слева и справа прямыми х = а, х = b (рис. 5.2).

4) – условие нормировки.

Рис. 5.1 Рис. 5.2

Задача 5.1. Случайная величина Х задана плотностью распределения вероятностей:

Найти: а) значение с; б) функцию распределения F (х)и построить ее график; в) Р (3≤ х <5)

Решение:

а) Значение с найдем из условия нормировки:

Следовательно,

_{+∞ 2 6 +∞ 6 6}

∫ f (x)d x = ∫ 0d x + ∫ c (х - 2)d x +∫ 0 dx = c ∫ (х - 2)d x = с (х ² / 2-2 х) =

^{-∞ -∞ 2 6 2 2}

= c (36/2–12 – (4/2 – 4) = 8 с;

с =1/8.

б) Известно, что F (x) =

Поэтому,

если х ≤ 2, то F (x) = ;

если 2 < х ≤ 6, то F(x)=

х² х = х² /2-2 х - (4/2-4)) 1/8 (х² /2-2 х +2)=1/16(х -2)²;

если х > 6, то F(x)= =

= х =

Таким образом,

График функции F (х)изображен на рис. 5. 3.

Рис. 5.3

в) Р (3≤ Х <5) = F (5) - F (3) = (5-2)²/16 - (3-2)²/16 = 9/16-1/16 = =8/16=1/2.

Задача 5.2. Случайная величина Х задана функцией распределения:

Найти дифференциальную функцию распределения f (х).

Решение: Так как f (х) = F’ (x), то