Числовые характеристики непрерывной случайной величины

Понятия математического ожидания М (Х) и дисперсии D (X), введенные ранее для дискретной случайной величины, можно распространить на непрерывные случайные величины.

· Математическое ожидание М (Х) непрерывной случайной величины Х определяется равенством:

при условии, что этот интеграл сходится.

· Дисперсия D (X) непрерывной случайной величины Х определяется равенством:

· Среднее квадратическое отклонение σ(Х) непрерывной случайной величины определяется равенством:

.

Все свойства математического ожидания и дисперсии, рассмотренные ранее для дискретных случайных величин, справедливы и для непрерывных.

Задача 5.3. Случайная величина Х задана дифференциальной функцией f (x):

Найти M (X), D (X), σ(Х), а также P (1 < х < 5).

Решение:

M (X) = =

+ = 8/9 0+9/6 4/6=31/18,

D (X) =

= = /

P 1 =

Задачи

5.1. Непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения:

Найти дифференциальную функцию распределения f (x), а также

Р (‒1/2 < Х < 1/2).

5.2. Непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения:

Найти дифференциальную функцию распределения f (x), а также

Р (2π /9 < Х < π /2).

5.3. Непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения:

Найти: а) число с; б) М (Х), D (X).

5.4. Непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения:

Найти: а) число с; б) М (Х), D (X).

5.5. Задана плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х:

Найти: а) F (х) и построить ее график; б) M (X), D (X), σ(Х); в) вероятность того, что в четырех независимых испытаниях величина Х примет ровно 2 раза значение, принадлежащее интервалу (1;4).

5.6. Задана плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х:

Найти: а) F (х) и построить ее график; б) M (X), D (X), σ(Х); в) вероятность того, что в трех независимых испытаниях величина Х примет ровно 2 раза значение, принадлежащее отрезку [1; 2,5].

5.7. Функция f (х) задана в виде:

Найти: а) значение постоянной с, при которой функция будет плотностью вероятности некоторой случайной величины Х; б) функцию распределения F (x).

5.8. Функция f (x) задана в виде:

5.9. Случайная величина Х, сосредоточенная на интервале (3;7), задана функцией распределения F (х) = . Найти вероятность того, что случайная величина Х примет значение: а) меньше 5, б) не меньше 7.

5.10. Случайная величина Х, сосредоточенная на интервале (-1;4), задана функцией распределения F (х) = . Найти вероятность того, что случайная величина Х примет значение: а) меньше 2, б) меньше 4.

5.11. Случайная величина задана дифференциальной функцией распределения:

Найти: а) число с; б) М (Х); в) вероятность Р (Х > М (Х)).

5.12. Случайная величина задана дифференциальной функцией распределения:

Найти: а) М (Х); б) вероятность Р (Х ≤ М (Х)).

5.13. Распределение Ремя задается плотностью вероятности:

Доказать, что f (x) действительно является плотностью распределения вероятностей.

5.14. Задана плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х:

Найти число с.

5.15. Случайная величина Х распределена по закону Симпсона (равнобедренного треугольника) на отрезке [-2;2] (рис. 5.4). Найти аналитическое выражение для плотности вероятности f (x) на всей числовой оси.

Рис. 5.4 Рис. 5.5

5.16. Случайная величина Х распределена по закону "прямоугольного треугольника" в интервале (0;4) (рис. 5.5). Найти аналитическое выражение для плотности вероятности f (x) на всей числовой оси.

Ответы

5.1.