Задачи с решениями

Задача 9.1. По двум независимым выборкам объемов n ₁ = 10 и n ₂ = 15, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены оценки дисперсий: s = 8,42, s = 4,23. При уровне значимости α = 0,05 проверить гипотезу H ₀: D (X) =D (Y) при конкурирующей гипотезе H ₁: D (X) >D (Y).

Решение. 1) По данным выборки вычисляем

= .

2) По табл. П 2.7 (см. приложение 2), учитывая значения

α = 0,05, k ₁ = n ₁ – 1 = 9, k ₂ = n ₂ – 1 = 14.

находим число: F _крит = 2,65.

3) Сравниваем: так как 1,99 < 2,65, т.е. F _набл < F _крит, то нет основания отвергать гипотезу H _0.

Ответ: гипотеза H ₀: D (X) =D (Y) принимается.

Задача 9.2. По двум независимым выборкам объемов n ₁ = 10 и n ₂ = 15, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены оценки дисперсий: S = 8,42, S = 4,23. При уровне значимости α = 0,1 проверить гипотезу H ₀: D (X) =D (Y) при конкурирующей гипотезе H ₁: D (X) ≠D (Y).

Решение. 1) По данным выборки вычисляем

= .

2) По табл. П 2.7 (см. приложение 1), учитывая значения

α = 0,1 и , k ₁ = n ₁ – 1 = 9, k ₂ = n ₂ – 1 = 14.

находим число: F _крит = 2,65.

3) Сравниваем: так как 1,99 < 2,65, т.е. F _набл < F _крит, то нет основания отвергать гипотезу H _0.

Ответ: гипотеза H ₀: D (X) =D (Y) принимается.

Задача 9.3. По трем независимым выборкам объемов n ₁ = 10 и n ₂ = 15 и n ₃ = 20, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X, Y и Z найдены оценки дисперсий: S = 3,62, S =4,23, S =7,45. При уровне значимости α = 0,05 проверить гипотезу H ₀: D (X) =D (Y) =D (Z).

Решение. 1) По данным выборок вычисляем:

k ₁ = n ₁ – 1=9, k ₂ = n ₂ – 1=14, k ₃ = n ₃ – 1=19.

= 9 + 14 + 19 = 42,

=

=

= .

= ,

.

2) По табл. П 2.5 (см. приложение 2), учитывая значения

α = 0,05, k = 3 – 1 = 2,

находим число

χ²_крит = 6,0

3) Сравниваем: так как 2,06 < 6,0, т.е. B _набл < χ²_крит, следовательно нет основания отвергать нулевую гипотезу.

Ответ: гипотезу H ₀: D (X) = D (Y) = D (Z) принимают.

Задача 9.4. По двум независимым выборкам объемов n ₁=10 и n ₂=16, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены оценки математических ожиданий =2,5, =3,1 и исправленные выборочные дисперсии s =0,62, s =0,43. Проверить нулевую гипотезу: H ₀ : M (X) = M (Y) при конкурирующей гипотезе H ₁ : M (X) ≠ M (Y) и уровне значимости α = 0,01.

Решение. 1) Так как s ≠ s , то предварительно проверим гипотезу H ₀: D (X) =D (Y) о равенстве генеральных дисперсий при конкурирующей гипотезе H ₁: D (X) >D (Y). Для этого поступаем по аналогии с решением 1 задачи.

а) По данным выборки вычисляем

= ;

б) По табл. П 2.7 (см. приложение 2), учитывая значения

α = 0,01, k ₁ = n ₁ – 1 = 9, k ₂ = n ₂ – 1 = 15.

находим число:

F _крит = 3,89.

в) Сравниваем: так как 1,44 < 3,89, т.е. F _набл < F _крит, то гипотеза о равенстве генеральных дисперсий принимается, то есть различие между s = 0,62 и s = 0,43 считаем незначительным.

2) Проверим гипотезу H ₀ : M (X) = M (Y) о равенстве средних при конкурирующей гипотезе

H ₁ : M (X) ≠ M (Y).

а) Найдем по табл. П 2.6 (см. приложение 2) значение T _крит по заданному α = 0,01 и числу k = 10 + 16 – 2 = 24:

T _крит = 2,8.

б) Найдем число T _набл :

=

= =

= .

в) Сравнить числа T _крит и : так как 2,101 < 2,8 то < T _крит и гипотеза H ₀ : M (X) = M (Y) о равенстве средних принимается.

Ответ: гипотеза H ₀ : M (X) = M (Y) принимается.

Задача 9.5. По двум независимым выборкам объемов n ₁=10 и n ₂=16, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, с дисперсиями σ =9, σ =12, вычислены оценки математических ожиданий =12,7, =10,2. При уровне значимости α = 0,05 проверить гипотезу H ₀ : M (X) = M (Y) и конкурирующей гипотезе H ₁ : M (X) ≠ M (Y).

Решение. Воспользуемся замечанием 6. 1) Вычислим:

= = 2,19.

2) Находим N _крит из уравнения

, то есть = 0,475

используя табл. П 2.2 (см. приложение 2).

Следовательно,

N _крит =1,96.

3) Сравниваем: так как 2,19 > 1,96, т.е. N _набл > N _крит , то гипотезу H ₀ отвергают. Значит, различие генеральных математических ожиданий значительное.

Ответ: гипотеза H ₀ : M (X) = M (Y) отвергается, т.е. M (X) ≠ M (Y).

Задачи

9.1. По двум независимым выборкам объемов n ₁ = 10 и n ₂ = 13, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены исправленные выборочные дисперсии s = 0,52 и s = 0,28. При уровне значимости α = 0,01 проверить гипотезу H ₀: D (X) = D (Y) при конкурирующей гипотезе H ₁: D (X) > D (Y).

9.2. По двум независимым выборкам объемов n ₁ = 15 и n ₂ = 10, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены исправленные выборочные дисперсии s = 1,92 и s = 3,21. При уровне значимости α = 0,1 проверить гипотезу H ₀: D (X)  = D (Y) при конкурирующей гипотезе H ₁: D (X) ≠ D (Y).

9.3. По двум независимым выборкам объемов n ₁ = 15 и n ₂ = 10, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y c дисперсиями D (X) = 25, D (Y) = 32, найдены выборочные средние =53, = 61. При уровне значимости α = 0,1 проверить нулевую гипотезу H ₀: M (X) =M (Y) при конкурирующей гипотезе H ₁: M (X) ≠ M (Y).

9.4. По двум независимым выборкам объемов n ₁ = 15 и n ₂ = 12, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y найдены выборочные средние =11,2, = 15,7 и исправленные выборочные дисперсии s = 0,58, s = 0, 83. При уровне значимости α = 0,05 проверить нулевую гипотезу H ₀: M (X) =M (Y) при конкурирующей гипотезе H ₁: M (X) ≠ M (Y).

9.5. По трем независимым выборкам объемов n ₁=10, n ₂=12 и n ₃=17, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X, Y и Z, найдены выборочные дисперсии D_в (X) = 2,3, D_в (Y)=2,7, D_в (Z)=4,5 При уровне значимости α = 0,05 проверить гипотезу H ₀: D (X) = D (Y) = D (Z).

9.6. По двум независимым выборкам объемов n ₁=12 и n ₂=18, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y найдены исправленные выборочные дисперсии s = 25,31, s = 10,23. При уровне значимости α = 0,05 проверить гипотезу H ₀: D (X) = D (Y) при конкурирующей гипотезе H ₁: D (X) > D (Y).

9.7. По двум независимым выборкам объемов n ₁ = 12 и n ₂ = 10, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y найдены исправленные выборочные дисперсии D_в (X)  = 12,3, D_в (Y) = 18,5. При уровне значимости α = 0,02 проверить гипотезу H ₀: D (X) = D (Y) при конкурирующей гипотезе H ₁: D (X) ≠ D (Y).

9.8. По двум независимым выборкам объемов n ₁ = 40 и n ₂ = 30, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y c дисперсиями D (X) = 80, D (Y) = 70, найдены выборочные средние = 120, = 115. При уровне значимости α = 0,01 проверить нулевую гипотезу H ₀: M (X) = M (Y) при конкурирующей гипотезе H ₁: M (X) ≠ M (Y).

9.9. Из двух партий изделий, изготовленных на двух одинаково настроенных станках, извлечены две выборки:

xi	2,2	2,6	2,8	3,1
mi

yi	2,5	2,7	2,8	3,0
mi

Проверить нулевую гипотезу H ₀: M (X) =M (Y) при конкурирующей гипотезе H ₁: M (X) ≠M (Y) при уровне значимости α = 0, 1.

9.10. По четырем независимым выборкам объемов n ₁ = 12 и n ₂ = 15, n ₃ = 18 и n ₄ = 20 извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X, Y, Z и U, найдены исправленные выборочные дисперсии S = 0,27, S = 0,52, S = 0,85 и S = 0,99. При уровне значимости α = 0,01 проверить гипотезу H ₀: D (X) = D (Y) = D (Z) = D (U).

Ответы

9.1. H ₀ принимается: F _набл = 1,86, F _крит = 4,39.

9.2. H ₀ принимается: F _набл = 1,67, F _крит = 2,65.

9.3. H ₀ отвергается: N _набл = - 5,36, N _крит = 1,64.

9.4. H ₀ отвергается: T _набл = -13,99, T _крит = 2,06.

Указание. Предварительно проверить равенство дисперсий при заданном уровне значимости

9.5. H ₀ принимается: B _набл = 4,064, χ² _крит = 6,0.

9.6. H ₀ отвергается: F _набл = 2,47, F _крит = 2,41.

9.7. H ₀ принимается: F _набл = 1,53, F _крит = 4,63.

9.8. H ₀ принимается: N _набл = 2,40, N _крит = 2,58.

9.9. H ₀ принимается: T _набл = 0,73, T _крит = 1,71.

Указание: Предварительно проверить равенство дисперсий при заданном уровне значимости

9.10. H ₀ принимается: B _набл. = 2,918, χ² = 11,3.