Метод идентификации, основанный на аппроксимации сигналов

Если входные и выходные сигналы объекта могут быть аппроксимированы каким-либо аналитическим выражением, импульсная переходная функция может быть получена из интеграла свертки или из уравнения Винера-Хопфа также в аналитическом виде.

Рассмотрим реализацию этого подхода. Входные и выходные сигналы объекта аппроксимируются на интервале наблюдения линейной комбинацией некоторых функций. Искомую импульсную переходную функцию также аппроксимируют этой же системой функции. Например, пусть сигналы разложены в ряды ортогональных полиномов {p_i(t)}:

(18.6)

где , а pⁱ_j - коэффициенты полинома.

То есть сигналы представляются в виде степенных рядов

(18.7)

где коэффициенты связаны с коэффициентами разложения соотношениями:

.

Импульсную переходную функцию тоже ищем в виде степенного ряда

(18.8)

Подставляя (18.7) и (18.8) в интеграл свертки, получаем

. (18.9)

Приравнивая коэффициенты при равных степенях, получим систему алгебраических уравнений для определения коэффициентов g_i ввыражении (18.8). В результате имеем:

.

Представляет интерес аппроксимация сигналов в комплексной области, то есть представление их рядами ортогональных функций, легко преобразуемых по Лапласу. Такими функциями, являются, например, функции Лагерра L(t). В этом случае имеем:

(18.10)

Соотношения (18.10) в комплексной плоскости запишутся как

а передаточная функция объекта имеет вид:

.

Между коэффициентами {a_n} и {c_k} имеют место следующие соотношения:

Можно получить аналогичные соотношения между {b_i} и {d_i}.

Если сигнал, подаваемый на вход объекта, носит кусочно-постоянный характер или может быть аппроксимирован кусочно-постоянной функцией с достаточной степенью точности, алгоритмы идентификации упрощаются. Для j-го интервала входного сигнала с постоянным значением можно записать

, где h(t) - переходная функция.

Разложим ее по некоторой ортнормированной системе функций:

.

В этом случае, разложив выходной сигнал по той же системе функций, можно записать:

, откуда следует: .

Аналогичным образом можно поступить и в том случае, если входной сигнал может быть аппроксимирован кусочно-линейной функцией.

Аппроксимирующие функции обычно выбираются таким образом, чтобы достичь хорошего приближения при небольшом их числе. Приведем некоторые полиномы, широко использующиеся при решении задач идентификации.

Исходные полиномы Лагерра ортонормальны с весомω(t) = e^-t на интервале (0, ∞). Полином Лагерра n-го порядка имеет вид

, (18.11)

а выражения для первых трех полиномов соответственно равны

.

Полиномы Лагерра ортогональны таким образом, что

.

После нормировки выражение (18.11) примет вид:

.

Другим важным типом аппроксимирующих функций являются полиномы Лежандра, ортогональные на интервале [-1,1]. n–ый полином Лежандра описывается выражением

. Первые полиномы Лежандра, таким образом, имеют вид:

Полиномы Чебышева ортогональны на интервале [-1,1] с весом

Полином Чебышева n -го порядка имеет вид:

Выражения для первых полиномов:

А коэффициенты разложения функцииf(x) по системе полиномов Чебышева имеют вид:

.

Аппроксимация произвольной функции полиномами Чебышева позволяет добиться равномерного распределения погрешности и избежать ее накопления к концу интервала.