2015-02-04
2970
Пусть в пространстве задано тело. Пусть построены его сечения плоскостями, перпендикулярными оси 
и проходящими через точки x 
на ней. Площадь фигуры, образующейся в сечении, зависит от точки х, определяющей плоскость сечения. Пусть эта зависимость известна и задана непрерывной на 
функцией 
. Тогда объем части тела, находящейся между плоскостями х=а и х=в вычисляется по формуле 
Пример. Найдём объём ограниченного тела, заключённого между поверхностью цилиндра радиуса 
: 
, горизонтальной плоскостью 
и наклонной плоскостью z=2y и лежащего выше горизонтальной плоскости .
Очевидно, что рассматриваемое тело 
проектируется на ось в отрезок 
, а при x 
поперечное сечение тела представляет собою прямоугольный треугольник с катетами y и z=2y, где y можно выразить через x из уравнения цилиндра:
Поэтому площадь S(x) поперечного сечения такова:
Применяя формулу, находим объём тела :
