Нахождение объёма тела по площадям поперечных сечений

Пусть в пространстве задано тело. Пусть построены его сечения плоскостями, перпендикулярными оси и проходящими через точки x на ней. Площадь фигуры, образующейся в сечении, зависит от точки х, определяющей плоскость сечения. Пусть эта зависимость известна и задана непрерывной на функцией . Тогда объем части тела, находящейся между плоскостями х=а и х=в вычисляется по формуле

Пример. Найдём объём ограниченного тела, заключённого между поверхностью цилиндра радиуса : , горизонтальной плоскостью и наклонной плоскостью z=2y и лежащего выше горизонтальной плоскости .

Очевидно, что рассматриваемое тело проектируется на ось в отрезок , а при x поперечное сечение тела представляет собою прямоугольный треугольник с катетами y и z=2y, где y можно выразить через x из уравнения цилиндра:

Поэтому площадь S(x) поперечного сечения такова:

Применяя формулу, находим объём тела :