2015-02-04
1673
1. Явное задание кривой. В этом случае кривая задается в виде 
, 
, и длина ее дуги равна L= 
.
2. Кривая в полярных координатах. Уравнение кривой имеет в этом случае вид 
и длина ее дуги равна L= 
.
3. Параметрическое задании кривой. Пусть функции x (t) и y (t) имеют на отрезке 
непрерывныепроизводные 
и 
. Тогда длина дуги кривой
L= 
.
Пример. Найдём длину дуги кривой (циклоиды), заданной на плоскости 
параметрическими уравнениями
 |
лежащей между точками O(0;0) (соответствует
) и A(2 
a;0) (соответствует 
). Для функций f1(t)=a(t-sint) и f2(t)=a(1-cost) вычислим производные: 
Тогда искомая длина дуги равна
 |
Пример. Пусть линия на плоскости с полярными координатами (r;
) задана уравнением r=a 
(a>0). Поскольку функция f()=a периодична с периодом 
, достаточно рассматривать только значения аргумента 
, при которых выражение 
неотрицательно. Кривая имеет вид, изображённый на следующем рисунке. Найдём длину этой линии.
Имеем 
Поэтому искомая длина 
равна
