double arrow

Вычисление длины дуги


1. Явное задание кривой. В этом случае кривая задается в виде , , и длина ее дуги равна L= .

2. Кривая в полярных координатах.Уравнение кривой имеет в этом случае вид и длина ее дуги равна L= .

3.Параметрическое задании кривой.Пусть функции x(t) и y(t) имеют на отрезке непрерывныепроизводные и . Тогда длина дуги кривой

L= .

Пример. Найдём длину дуги кривой (циклоиды), заданной на плоскости параметрическими уравнениями

 
 

лежащей между точками O(0;0) (соответствует ) и A(2 a;0) (соответствует ).

Для функций f1(t)=a(t-sint) и f2(t)=a(1-cost) вычислим производные:

Тогда искомая длина дуги равна

 
 

Пример. Пусть линия на плоскости с полярными координатами (r; ) задана уравнением r=a (a>0). Поскольку функция f( )=a периодична с периодом , достаточно рассматривать только значения аргумента , при которых выражение неотрицательно. Кривая имеет вид, изображённый на следующем рисунке.

Найдём длину этой линии.

Имеем

Поэтому искомая длина равна

Заказать ✍️ написание учебной работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Сейчас читают про: