Доказательство. В случае элемента бесконечного порядка доказывать нечего

В случае элемента бесконечного порядка доказывать нечего. Если а – элемент порядка q, то по определению все элементы е,а,а²,…,а^q-1 различны. Любая другая степень а^k совпадает с одним из этих элементов, то есть ={е,а,а²,…,а^q-1}. В самом деле, воспользовавшись алгоритмом деления в Z, запишем показатель k в виде k = lq + r, 0 r q-1. После чего, оперируя со степенями по правилам изложенным в теореме 1 получим

a^k = (a ^q)^l a^r = ea^r = a^r.

В частности a^k=е, r = 0 k = lq.